Triangle, quadrat, hexàgon: aquestes figures són conegudes per gairebé tothom. Però no tothom sap què és un polígon regular. Però totes són les mateixes formes geomètriques. Un polígon regular és aquell que té angles i costats iguals. Hi ha moltes xifres d'aquest tipus, però totes tenen les mateixes propietats i s'apliquen les mateixes fórmules.
Propietats dels polígons regulars
Qualsevol polígon regular, ja sigui un quadrat o un octògon, es pot inscriure en un cercle. Aquesta propietat bàsica s'utilitza sovint quan es construeix una figura. A més, un cercle també es pot inscriure en un polígon. En aquest cas, el nombre de punts de contacte serà igual al nombre dels seus costats. És important que un cercle inscrit en un polígon regular tingui un centre comú amb ell. Aquestes figures geomètriques estan subjectes als mateixos teoremes. Qualsevol costatd'un n-gon regular està relacionat amb el radi R del cercle circumscrit al seu voltant, per tant, es pot calcular mitjançant la fórmula següent: a=2R ∙ sin180°. A través del radi del cercle, podeu trobar no només els costats, sinó també el perímetre del polígon.
Com trobar el nombre de costats d'un polígon regular
Qualsevol n-gon regular consta d'un nombre determinat de segments iguals entre si, que, quan estan connectats, formen una línia tancada. En aquest cas, totes les cantonades de la figura formada tenen el mateix valor. Els polígons es divideixen en simples i complexos. El primer grup inclou un triangle i un quadrat. Els polígons complexos tenen més costats. També inclouen figures en forma d'estrella. Per als polígons regulars complexos, els costats es troben inscriint-los en un cercle. Donem una prova. Dibuixa un polígon regular amb un nombre arbitrari de costats n. Descriu un cercle al seu voltant. Especifiqueu el radi R. Imagineu ara que es dóna algun n-gon. Si els punts dels seus angles es troben en una circumferència i són iguals entre si, els costats es poden trobar amb la fórmula: a=2R ∙ sinα: 2.
Trobant el nombre de costats d'un triangle regular inscrit
Un triangle equilàter és un polígon regular. S'apliquen les mateixes fórmules que al quadrat i al n-gon. Un triangle es considerarà correcte si té els costats de la mateixa longitud. En aquest cas, els angles són de 60⁰. Construeix un triangle amb una longitud de costat donada a. Coneixent la seva mediana i alçada,pots trobar el valor dels seus costats. Per fer-ho, utilitzarem el mètode de trobar mitjançant la fórmula a \u003d x: cosα, on x és la mediana o l'alçada. Com que tots els costats del triangle són iguals, obtenim a=b=c. Aleshores la següent afirmació serà certa a=b=c=x: cosα. De la mateixa manera, podeu trobar el valor dels costats en un triangle isòsceles, però x serà l'alçada donada. Al mateix temps, s'ha de projectar estrictament a la base de la figura. Per tant, coneixent l'alçada x, trobem el costat a d'un triangle isòsceles utilitzant la fórmula a \u003d b \u003d x: cosα. Després de trobar el valor de a, podeu calcular la longitud de la base c. Apliquem el teorema de Pitàgores. Buscarem el valor de la meitat de la base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Aleshores c=2xtanα. Aquí teniu una manera senzilla de trobar el nombre de costats de qualsevol polígon inscrit.
Calculeu els costats d'un quadrat inscrit en un cercle
Com qualsevol altre polígon regular inscrit, un quadrat té costats i angles iguals. S'hi apliquen les mateixes fórmules que al triangle. Podeu calcular els costats d'un quadrat utilitzant el valor de la diagonal. Considerem aquest mètode amb més detall. Se sap que la diagonal divideix l'angle. Inicialment, el seu valor era de 90 graus. Així, després de la divisió, es formen dos triangles rectangles. Els seus angles de base seran de 45 graus. En conseqüència, cada costat del quadrat serà igual, és a dir: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, on e és la diagonal del quadrat o la base de el triangle rectangle format després de la divisió. No és l'únic camítrobar els costats d'un quadrat. Inscrivim aquesta figura en un cercle. Coneixent el radi d'aquesta circumferència R, trobem el costat del quadrat. Ho calcularem de la següent manera a4=R√2. Els radis dels polígons regulars es calculen mitjançant la fórmula R=a: 2tg (360o: 2n), on a és la longitud del costat.
Com calcular el perímetre d'un n-gon
El perímetre d'un n-gon és la suma de tots els seus costats. És fàcil calcular-ho. Per fer-ho, cal conèixer els valors de tots els costats. Per a alguns tipus de polígons, hi ha fórmules especials. Et permeten trobar el perímetre molt més ràpid. Se sap que qualsevol polígon regular té costats iguals. Per tant, per calcular-ne el perímetre n'hi ha prou de conèixer almenys un d'ells. La fórmula dependrà del nombre de costats de la figura. En general, es veu així: P \u003d an, on a és el valor del costat i n és el nombre d'angles. Per exemple, per trobar el perímetre d'un octògon regular amb un costat de 3 cm, cal multiplicar-lo per 8, és a dir, P=3 ∙ 8=24 cm. Per a un hexàgon amb un costat de 5 cm, calculem de la següent manera: P=5 ∙ 6=30 cm. I així per a cada polígon.
Trobar el perímetre d'un paral·lelogram, un quadrat i un rombe
En funció de quants costats tingui un polígon regular, es calcula el seu perímetre. Això fa que la tasca sigui molt més fàcil. De fet, a diferència d' altres figures, en aquest cas no cal buscar totes les seves cares, n'hi ha prou amb una. Pel mateix principi, trobem el perímetre aquadrangles, és a dir, un quadrat i un rombe. Tot i que es tracta de figures diferents, la fórmula per a elles és la mateixa P=4a, on a és el costat. Prenguem un exemple. Si el costat d'un rombe o quadrat és de 6 cm, trobarem el perímetre de la següent manera: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Un paral·lelogram només té costats oposats. Per tant, el seu perímetre es troba mitjançant un mètode diferent. Per tant, hem de conèixer la longitud a i l'amplada b de la figura. Aleshores apliquem la fórmula P=(a + c) ∙ 2. Un paral·lelogram, en el qual tots els costats i angles entre ells són iguals, s'anomena rombe
Trobar el perímetre d'un triangle equilàter i rectangle
El perímetre d'un triangle equilàter regular es pot trobar amb la fórmula P=3a, on a és la longitud del costat. Si es desconeix, es pot trobar a través de la mediana. En un triangle rectangle només dos costats són iguals. La base es pot trobar a través del teorema de Pitàgores. Després de conèixer els valors dels tres costats, calculem el perímetre. Es pot trobar aplicant la fórmula P \u003d a + b + c, on a i b són costats iguals i c és la base. Recordeu que en un triangle isòsceles a \u003d b \u003d a, per tant, a + b \u003d 2a, llavors P \u003d 2a + c. Per exemple, el costat d'un triangle isòsceles fa 4 cm, troba la seva base i el perímetre. Calculem el valor de la hipotenusa utilitzant el teorema de Pitàgores c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Ara calculem el perímetre Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Com trobar les cantonades d'un polígon regular
Polígon regularocorre a les nostres vides cada dia, per exemple, un quadrat, un triangle, un octògon normals. Sembla que no hi ha res més fàcil que construir aquesta figura tu mateix. Però això és només a primera vista. Per construir qualsevol n-gon, cal conèixer el valor dels seus angles. Però com els trobes? Fins i tot els científics de l'antiguitat van intentar construir polígons regulars. Van endevinar que els encaixaven en cercles. I després es van marcar els punts necessaris, connectats per línies rectes. Per a figures senzilles, s'ha resolt el problema de construcció. S'han obtingut fórmules i teoremes. Per exemple, Euclides a la seva famosa obra "The Beginning" es va dedicar a resoldre problemes de 3, 4, 5, 6 i 15 gons. Va trobar maneres de construir-los i trobar angles. Vegem com fer-ho per a un 15-gon. Primer cal calcular la suma dels seus angles interns. Cal utilitzar la fórmula S=180⁰(n-2). Per tant, ens donen un gon de 15, el que significa que el nombre n és 15. Substituïm les dades que coneixem a la fórmula i obtenim S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Hem trobat la suma de tots els angles interiors d'un gon de 15. Ara hem d'obtenir el valor de cadascun d'ells. Hi ha 15 angles en total. Fem el càlcul 2340⁰: 15=156⁰. Això vol dir que cada angle intern és de 156⁰, ara amb un regle i una brúixola, podeu construir un 15-gon normal. Però, què passa amb els n-gons més complexos? Durant segles, els científics han lluitat per resoldre aquest problema. Només va ser trobat al segle XVIII per Carl Friedrich Gauss. Va poder construir un 65537-gon. Des de llavors, el problema es considera oficialment resolt completament.
Càlcul d'angles de n-gonsen radians
Per descomptat, hi ha diverses maneres de trobar les cantonades dels polígons. Molt sovint es calculen en graus. Però també pots expressar-los en radians. Com fer-ho? Cal procedir de la següent manera. En primer lloc, descobrim el nombre de costats d'un polígon regular i després en restem 2. Així, obtenim el valor: n - 2. Multipliquem la diferència trobada pel nombre n (“pi”=3, 14). Ara només queda dividir el producte resultant pel nombre d'angles de l'n-gon. Considereu aquests càlculs utilitzant l'exemple del mateix de quinze cares. Per tant, el nombre n és 15. Apliqueu la fórmula S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Això, per descomptat, no és l'única manera de calcular l'angle en radians. Simplement podeu dividir la mida de l'angle en graus pel nombre 57, 3. Després de tot, tants graus equivalen a un radià.
Calculeu el valor dels angles en graus
A més dels graus i els radians, podeu provar de trobar el valor dels angles d'un polígon regular en graus. Això es fa de la següent manera. Resta 2 del nombre total d'angles, divideix la diferència resultant pel nombre de costats d'un polígon regular. Multipliquem el resultat trobat per 200. Per cert, pràcticament no s'utilitza una unitat de mesura d'angles com ara calamarsa.
Càlcul dels angles externs de n-gons
Per a qualsevol polígon regular, excepte l'interior, també podeu calcular l'angle extern. El seu valor es troba de la mateixa manera que per a altres figures. Per tant, per trobar l'angle exterior d'un polígon regular, necessiteuconèixer el significat de l'interior. A més, sabem que la suma d'aquests dos angles és sempre de 180 graus. Per tant, fem els càlculs de la següent manera: 180⁰ menys el valor de l'angle intern. Trobem la diferència. Serà igual al valor de l'angle adjacent a ell. Per exemple, la cantonada interior d'un quadrat és de 90 graus, de manera que l'angle exterior serà de 180⁰ - 90⁰=90⁰. Com podem veure, no és difícil trobar-lo. L'angle extern pot prendre un valor de +180⁰ a -180⁰, respectivament.
