Aquestes formes geomètriques ens envolten per tot arreu. Els polígons convexos poden ser naturals, com una bresca, o artificials (fabricats per l'home). Aquestes figures s'utilitzen en la producció de diversos tipus de recobriments, en pintura, arquitectura, decoració, etc. Els polígons convexos tenen la propietat que tots els seus punts estan al mateix costat d'una recta que passa per un parell de vèrtexs adjacents d'aquesta figura geomètrica. També hi ha altres definicions. Un polígon s'anomena convex si està situat en un únic semipla respecte a qualsevol recta que contingui un dels seus costats.
polígons convexos
En el curs de la geometria elemental, només es consideren polígons simples. Per entendre totes les propietats d'aquestsformes geomètriques, cal entendre la seva naturalesa. Per començar, cal entendre que qualsevol línia s'anomena tancada, els extrems de la qual coincideixen. A més, la figura que forma pot tenir una varietat de configuracions. Un polígon és una simple línia trencada tancada, en la qual els enllaços veïns no es troben en la mateixa recta. Els seus enllaços i vèrtexs són, respectivament, els costats i els vèrtexs d'aquesta figura geomètrica. Una polilínia simple no ha de tenir autointerseccions.
Els vèrtexs d'un polígon s'anomenen adjacents si representen els extrems d'un dels seus costats. Una figura geomètrica que té l'èsimo nombre de vèrtexs, i per tant l'èsimo nombre de costats, s'anomena n-gon. La pròpia línia trencada s'anomena vora o contorn d'aquesta figura geomètrica. Un pla poligonal o un polígon pla s'anomena part final de qualsevol pla limitat per aquest. Els costats adjacents d'aquesta figura geomètrica s'anomenen segments d'una línia trencada que emana d'un vèrtex. No seran adjacents si provenen de diferents vèrtexs del polígon.
Altres definicions de polígons convexos
A la geometria elemental, hi ha diverses definicions més equivalents que indiquen quin polígon s'anomena convex. Totes aquestes afirmacions són igualment certes. Un polígon es considera convex si:
• tots els segments que connecten dos punts qualsevol dins seu es troben completament dins d'ell;
• dinstotes les seves diagonals es troben;
• cap angle intern no supera els 180°.
Un polígon sempre divideix un pla en 2 parts. Un d'ells és limitat (es pot tancar en un cercle), i l' altre és il·limitat. La primera s'anomena regió interior, i la segona és la regió exterior d'aquesta figura geomètrica. Aquest polígon és una intersecció (és a dir, un component comú) de diversos semiplans. A més, cada segment que té finals en punts que pertanyen al polígon li pertany completament.
Varietats de polígons convexos
La definició d'un polígon convex no indica que n'hi hagi molts tipus. I cadascun d'ells té uns criteris determinats. Així, els polígons convexos que tenen un angle interior de 180° s'anomenen dèbilment convexos. Una figura geomètrica convexa que té tres vèrtexs s'anomena triangle, quatre - un quadrangle, cinc - un pentàgon, etc. Cadascun dels n-gons convexos compleix el següent requisit essencial: n ha de ser igual o superior a 3. Cadascun de els triangles són convexs. Una figura geomètrica d'aquest tipus, en la qual tots els vèrtexs estan situats en el mateix cercle, s'anomena inscrita en un cercle. Un polígon convex s'anomena circumscrit si tots els seus costats propers al cercle el toquen. Es diu que dos polígons són iguals només si es poden superposar per superposició. Un polígon pla s'anomena pla poligonal.(part del pla), que està limitada per aquesta figura geomètrica.
Polígons convexos regulars
Els polígons regulars són formes geomètriques amb angles i costats iguals. Dins d'ells hi ha un punt 0, que es troba a la mateixa distància de cadascun dels seus vèrtexs. S'anomena el centre d'aquesta figura geomètrica. Els segments que connecten el centre amb els vèrtexs d'aquesta figura geomètrica s'anomenen apotemes, i els que connecten el punt 0 amb els costats s'anomenen radis.
Un quadrilàter regular és un quadrat. Un triangle equilàter s'anomena triangle equilàter. Per a aquestes figures, hi ha la següent regla: cada cantonada d'un polígon convex és 180°(n-2)/n, on n és el nombre de vèrtexs d'aquesta figura geomètrica convexa.
L'àrea de qualsevol polígon regular ve determinada per la fórmula:
S=ph, on p és la meitat de la suma de tots els costats del polígon donat i h és la longitud de l'apotema.
Propietats dels polígons convexos
Els polígons convexos tenen certes propietats. Per tant, un segment que connecta 2 punts qualsevol d'aquesta figura geomètrica es troba necessàriament en ell. Prova:
Suposem que P és un polígon convex donat. Prenem 2 punts arbitraris, per exemple, A, B, que pertanyen a P. Segons la definició existent de polígon convex, aquests punts estan situats al mateix costat de la línia, que conté qualsevol costat de P. Per tant, AB també té aquesta propietat i està contingut en P. Un polígon convex sempre es pot dividir en diversos triangles per absolutament totes les diagonals dibuixades a partir d'un dels seus vèrtexs.
Angles de formes geomètriques convexes
Les cantonades d'un polígon convex són les cantonades formades pels seus costats. Les cantonades internes es troben a la regió interior d'una figura geomètrica determinada. L'angle que formen els seus costats que convergeixen en un vèrtex s'anomena angle d'un polígon convex. Els angles adjacents als angles interns d'una figura geomètrica donada s'anomenen externs. Cada cantonada d'un polígon convex situat al seu interior és:
180° - x, on x és el valor de l'angle exterior. Aquesta fórmula senzilla funciona per a qualsevol forma geomètrica d'aquest tipus.
En general, per a les cantonades externes hi ha la següent regla: cada angle d'un polígon convex és igual a la diferència entre 180° i el valor de l'angle intern. Pot tenir valors que oscil·len entre -180° i 180°. Per tant, quan l'angle interior és de 120°, l'angle exterior serà de 60°.
Suma d'angles de polígons convexos
La suma dels angles interiors d'un polígon convex s'estableix amb la fórmula:
180°(n-2), on n és el nombre de vèrtexs de l'n-gon.
La suma dels angles d'un polígon convex és bastant fàcil de calcular. Considereu qualsevol figura geomètrica d'aquest tipus. Per determinar la suma dels angles dins d'un polígon convex, calconnectar un dels seus vèrtexs amb altres vèrtexs. Com a resultat d'aquesta acció, s'obtenen (n-2) triangles. Sabem que la suma dels angles de qualsevol triangle és sempre 180°. Com que el seu nombre en qualsevol polígon és (n-2), la suma dels angles interiors d'aquesta figura és 180° x (n-2).
La suma dels angles d'un polígon convex, és a dir, dos angles interns i externs adjacents qualsevol, per a una figura geomètrica convexa determinada sempre serà igual a 180°. A partir d'això, podeu determinar la suma de tots els seus angles:
180 x n.
La suma dels angles interiors és 180°(n-2). A partir d'això, la suma de totes les cantonades externes d'aquesta figura s'estableix amb la fórmula:
180°n-180°-(n-2)=360°.
La suma dels angles exteriors de qualsevol polígon convex sempre serà de 360° (independentment del nombre de costats).
L'angle exterior d'un polígon convex es representa generalment per la diferència entre 180° i el valor de l'angle interior.
Altres propietats d'un polígon convex
A més de les propietats bàsiques d'aquestes formes geomètriques, en tenen d' altres que sorgeixen en manipular-les. Per tant, qualsevol dels polígons es pot dividir en diversos n-gons convexos. Per fer-ho, cal continuar cada un dels seus costats i tallar aquesta figura geomètrica per aquestes línies rectes. També és possible dividir qualsevol polígon en diverses parts convexes de manera que els vèrtexs de cadascuna de les peces coincideixin amb tots els seus vèrtexs. A partir d'aquesta figura geomètrica, els triangles es poden fer de manera molt senzilla dibuixant-los totsdiagonals d'un vèrtex. Així, qualsevol polígon es pot dividir eventualment en un nombre determinat de triangles, la qual cosa resulta ser molt útil per resoldre diversos problemes associats amb aquestes formes geomètriques.
Perímetre d'un polígon convex
Els segments d'una línia trencada, anomenats costats d'un polígon, es denoten més sovint amb les lletres següents: ab, bc, cd, de, ea. Aquests són els costats d'una figura geomètrica amb vèrtexs a, b, c, d, e. La suma de les longituds de tots els costats d'aquest polígon convex s'anomena perímetre.
circumferència del polígon
Els polígons convexos es poden inscriure i circumscriure. Un cercle que toca tots els costats d'aquesta figura geomètrica s'anomena inscrit en ell. Aquest polígon s'anomena circumscrit. El centre d'una circumferència que està inscrit en un polígon és el punt d'intersecció de les bisectrius de tots els angles dins d'una figura geomètrica determinada. L'àrea d'aquest polígon és:
S=pr, on r és el radi del cercle inscrit i p és el semiperímetre del polígon donat.
Un cercle que conté els vèrtexs d'un polígon s'anomena circumscrit al seu voltant. A més, aquesta figura geomètrica convexa s'anomena inscrita. El centre del cercle, que està circumscrit al voltant d'aquest polígon, és el punt d'intersecció de les anomenades mediatrius perpendiculars de tots els costats.
Diagonals de formes geomètriques convexes
Les diagonals d'un polígon convex són segments queconnectar vèrtexs no adjacents. Cadascun d'ells es troba dins d'aquesta figura geomètrica. El nombre de diagonals d'aquest n-gon s'estableix amb la fórmula:
N=n (n – 3)/ 2.
El nombre de diagonals d'un polígon convex té un paper important en la geometria elemental. El nombre de triangles (K) en què és possible dividir cada polígon convex es calcula amb la fórmula següent:
K=n – 2.
El nombre de diagonals d'un polígon convex depèn sempre del nombre dels seus vèrtexs.
Descomposició d'un polígon convex
En alguns casos, per resoldre problemes geomètrics, cal dividir un polígon convex en diversos triangles amb diagonals que no es tallen. Aquest problema es pot resoldre derivant una fórmula específica.
Definició del problema: anomenem una partició pròpia d'un n-gon convex en diversos triangles per diagonals que es tallen només als vèrtexs d'aquesta figura geomètrica.
Solució: suposem que Р1, Р2, Р3 …, Pn són vèrtexs d'aquest n-gon. El nombre Xn és el nombre de les seves particions. Considerem detingudament la diagonal obtinguda de la figura geomètrica Pi Pn. En qualsevol de les particions regulars P1 Pn pertany a un determinat triangle P1 Pi Pn, que té 1<i<n. Partint d'això i assumint que i=2, 3, 4 …, n-1, obtenim (n-2) grups d'aquestes particions, que inclouen tots els casos particulars possibles.
Sigui i=2 un grup de particions regulars, que continguin sempre la diagonal Р2 Pn. El nombre de particions que hi introdueixen és el mateix que el nombre de particions(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. En altres paraules, és igual a Xn-1.
Si i=3, aquest altre grup de particions sempre contindrà les diagonals Р3 Р1 i Р3 Pn. En aquest cas, el nombre de particions regulars contingudes en aquest grup coincidirà amb el nombre de particions del (n-2)-gon P3 P4 … Pn. En altres paraules, serà igual a Xn-2.
Sigui i=4, aleshores entre els triangles una partició regular contindrà sens dubte un triangle P1 P4 Pn, al qual s'adjuntarà el quadrangle P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn.. El nombre de particions regulars d'aquest quadrilàter és X4 i el nombre de particions d'un (n-3)-gon és Xn-3. A partir de l'anterior, podem dir que el nombre total de particions correctes contingudes en aquest grup és Xn-3 X4. Altres grups amb i=4, 5, 6, 7… contindran Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7… particions normals.
Siguem i=n-2, aleshores el nombre de divisions correctes en aquest grup serà el mateix que el nombre de divisions del grup on i=2 (és a dir, és igual a Xn-1).
Com que X1=X2=0, X3=1, X4=2…, aleshores el nombre de totes les particions d'un polígon convex és:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Exemple:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Nombre de particions correctes que tallen una diagonal interior
Quan comproveu casos especials, s'hi pot arribarla suposició que el nombre de diagonals de n-gons convexos és igual al producte de totes les particions d'aquesta figura per (n-3).
Prova d'aquesta suposició: imagineu que P1n=Xn(n-3), llavors qualsevol n-gon es pot dividir en (n-2)-triangles. A més, un (n-3)-quadrilàter pot estar compost per ells. Juntament amb això, cada quadrilàter tindrà una diagonal. Com que es poden dibuixar dues diagonals en aquesta figura geomètrica convexa, això significa que es poden dibuixar diagonals addicionals (n-3) en qualsevol (n-3)-quadrilàters. A partir d'això, podem concloure que en qualsevol partició regular és possible dibuixar (n-3) diagonals que compleixin les condicions d'aquest problema.
Àrea de polígons convexos
Sovint, quan es resolen diversos problemes de geometria elemental, es fa necessari determinar l'àrea d'un polígon convex. Suposem que (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n és la seqüència de coordenades de tots els vèrtexs veïns d'un polígon que no té autointerseccions. En aquest cas, la seva àrea es calcula amb la fórmula següent:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), on (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
