La línia i el pla són els dos elements geomètrics més importants que es poden utilitzar per construir diferents formes en l'espai 2D i 3D. Penseu en com trobar la distància entre línies paral·leles i plans paral·lels.
Tasca matemàtica línia recta
Des del curs de geometria de l'escola se sap que en un sistema de coordenades rectangulars bidimensionals es pot especificar una línia de la forma següent:
y=kx + b.
On k i b són nombres (paràmetres). La forma escrita de representar una línia en un pla és un pla que és paral·lel a l'eix z en l'espai tridimensional. En vista d'això, en aquest article, per a l'assignació matemàtica d'una línia recta, utilitzarem una forma més còmoda i universal: una vectorial.
Suposem que la nostra recta és paral·lela a algun vector u¯(a, b, c) i passa pel punt P(x0, y0, z0). En aquest cas, en forma vectorial, la seva equació es representarà de la següent manera:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Aquí λ és qualsevol nombre. Si representem explícitament les coordenades ampliant l'expressió escrita, obtindrem una forma paramètrica d'escriure una línia recta.
És convenient treballar amb una equació vectorial quan es resolen diversos problemes en què cal determinar la distància entre rectes paral·leles.
Línies i la distància entre elles
Té sentit parlar de la distància entre línies només quan són paral·leles (en el cas tridimensional, també hi ha una distància diferent de zero entre les línies inclinades). Si les línies es tallen, és obvi que es troben a una distància zero entre elles.
La distància entre línies paral·leles és la longitud de la perpendicular que les uneix. Per determinar aquest indicador, n'hi ha prou amb triar un punt arbitrari en una de les línies i deixar anar una perpendicular a una altra.
Descrivim breument el procediment per trobar la distància desitjada. Suposem que coneixem les equacions vectorials de dues rectes, que es presenten en la forma general següent:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Construeix un paral·lelogram sobre aquestes rectes de manera que un dels costats sigui PQ i l' altre, per exemple, u. Òbviament, l'alçada d'aquesta figura, dibuixada des del punt P, és la longitud de la perpendicular requerida. Per trobar-lo, podeu aplicar el següent senzillfórmula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Com que la distància entre rectes és la longitud del segment perpendicular entre elles, aleshores, segons l'expressió escrita, n'hi ha prou amb trobar el mòdul del producte vectorial de PQ¯ i u¯ i dividir el resultat per la longitud del vector u¯.
Un exemple d'una tasca per determinar la distància entre línies rectes
Les equacions vectorials següents donen dues rectes:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
De les expressions escrites queda clar que tenim dues rectes paral·leles. De fet, si multipliquem per -1 les coordenades del vector de direcció de la primera línia, obtenim les coordenades del vector de direcció de la segona línia, que ens indica el paral·lelisme.
La distància entre línies rectes es calcularà mitjançant la fórmula escrita al paràgraf anterior de l'article. Tenim:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Aleshores obtenim:
|u¯|=√14 cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Tingueu en compte que en comptes dels punts P i Q, es podria utilitzar absolutament qualsevol punt que pertanyi a aquestes línies per resoldre el problema. En aquest cas, obtindríem la mateixa distància d.
Configuració d'un pla en geometria
La qüestió de la distància entre les línies es va parlar més amunt amb detall. Ara mostrem com trobar la distància entre plans paral·lels.
Tothom representa el que és un avió. Segons la definició matemàtica, l'element geomètric especificat és una col·lecció de punts. A més, si componeu tots els vectors possibles utilitzant aquests punts, tots seran perpendiculars a un sol vector. Aquest últim se sol anomenar normal al pla.
Per especificar l'equació d'un pla en un espai tridimensional, s'utilitza més sovint la forma general de l'equació. Sembla així:
Ax + By + Cz + D=0.
On les lletres llatines majúscules són alguns números. És convenient utilitzar aquest tipus d'equació plana perquè les coordenades del vector normal s'hi donen explícitament. Són A, B, C.
És fàcil veure que dos plans només són paral·lels quan les seves normals són paral·leles.
Com trobar la distància entre dos plans paral·lels ?
Per determinar la distància especificada, hauríeu d'entendre clarament què hi ha en joc. La distància entre plans paral·lels entre si s'entén com la longitud del segment perpendicular a ells. Els extrems d'aquest segment pertanyen a plans.
L'algorisme per resoldre aquests problemes és senzill. Per fer-ho, cal trobar les coordenades de qualsevol punt que pertanyi a un dels dos plans. Aleshores, hauríeu d'utilitzar aquesta fórmula:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Com que la distància és un valor positiu, el signe del mòdul es troba al numerador. La fórmula escrita és universal, ja que permet calcular la distància des del pla fins a qualsevol element geomètric. N'hi ha prou amb conèixer les coordenades d'un punt d'aquest element.
Per ser complet, observem que si les normals de dos plans no són paral·leles entre si, aquests plans es tallaran. Aleshores, la distància entre ells serà zero.
El problema de determinar la distància entre avions
Se sap que dos plans estan donats per les expressions següents:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Cal demostrar que els plans són paral·lels, i també determinar la distància entre ells.
Per respondre la primera part del problema, cal que la primera equació tingui una forma general. Tingueu en compte que es dóna en l'anomenada forma d'equació en segments. Multipliqueu les seves parts esquerra i dreta per 15 i moveu tots els termes a un costat de l'equació, obtenim:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Escrivim les coordenades de dos vectors normals dels plans:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Es pot veure que si n2¯ es multiplica per 5, obtindrem exactament les coordenades n1¯. Així, els plans considerats sónparal·lel.
Per calcular la distància entre plans paral·lels, seleccioneu un punt arbitrari del primer d'ells i utilitzeu la fórmula anterior. Per exemple, prenem el punt (0, 0, 1) que pertany al primer pla. Aleshores obtenim:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
La distància desitjada és de 31 mm.
Distància entre avió i línia
Els coneixements teòrics aportats també ens permeten resoldre el problema de determinar la distància entre una recta i un pla. Ja s'ha esmentat anteriorment que la fórmula vàlida per als càlculs entre plans és universal. També es pot utilitzar per resoldre el problema. Per fer-ho, només cal que seleccioneu qualsevol punt que pertanyi a la línia indicada.
El principal problema per determinar la distància entre els elements geomètrics considerats és la prova del seu paral·lelisme (si no, aleshores d=0). El paral·lelisme és fàcil de demostrar si es calcula el producte escalar de la normal i el vector de direcció de la recta. Si els elements considerats són paral·lels, aquest producte serà igual a zero.
