Triangle és la figura més simple tancada al pla, que consta només de tres segments interconnectats. En problemes de geometria, sovint és necessari determinar l'àrea d'aquesta figura. Què necessites saber per a això? A l'article respondrem a la pregunta de com trobar l'àrea d'un triangle en tres costats.
Fórmula general
Tot alumne sap que l'àrea d'un triangle es calcula com el producte de la longitud de qualsevol dels seus costats -a per la meitat de l'alçada - h, baixada al costat escollit. A continuació es mostra la fórmula corresponent: S=ah/2.
Aquesta expressió es pot utilitzar si es coneixen almenys dos costats i el valor de l'angle entre ells. En aquest cas, l'alçada h és fàcil de calcular mitjançant funcions trigonomètriques, com ara el sinus. Però no tothom sap com trobar l'àrea dels tres costats d'un triangle.
Fórmula d'Heron
Aquesta fórmula és la resposta a la pregunta de comtres costats troben l'àrea del triangle. Abans d'escriure'l, anotem les longituds dels segments d'una figura arbitrària com a, b i c. La fórmula d'Heron s'escriu de la següent manera: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
On p és el mig perímetre de la figura, és a dir: p=(a+b+c)/2.
Malgrat l'aparent incomoditat, l'expressió anterior per a l'àrea S és fàcil de recordar. Per fer-ho, primer cal calcular el semiperímetre del triangle, després restar-ne una longitud del costat de la figura, multiplicar totes les diferències obtingudes i el propi semiperímetre. Finalment, pren l'arrel quadrada del producte.
Aquesta fórmula porta el nom d'Heron d'Alexandria, que va viure al començament de la nostra era. La història moderna creu que va ser aquest filòsof el primer que va aplicar aquesta expressió per realitzar els càlculs corresponents. Aquesta fórmula es publica a la seva Metrica, que data de l'any 60 dC. Tingueu en compte que algunes de les obres d'Arquimedes, que va viure dos segles abans que Heron, contenen indicis que el filòsof grec ja coneixia la fórmula. A més, els antics xinesos també sabien trobar l'àrea d'un triangle, coneixent tres costats.
És important tenir en compte que el problema es pot resoldre sense conèixer l'existència de la fórmula d'Heron. Per fer-ho, dibuixa un parell d' altures al triangle i utilitza la fórmula general del paràgraf anterior, compilant el sistema d'equacions adequat.
L'expressió d'Heron es pot utilitzar per calcular les àrees de polígons arbitraris, després de dividir-los entriangles i calculant les longituds de les diagonals resultants.
Exemple de resolució de problemes
Saber trobar l'àrea d'un triangle en tres costats, consolidem els nostres coneixements resolent el següent problema. Deixa que els costats de la figura siguin de 5 cm, 4 cm i 3 cm. Troba l'àrea.
Es coneixen els tres costats d'un triangle, de manera que podeu utilitzar la fórmula d'Heron. Calculem el semiperímetre i les diferències necessàries, tenim:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1 cm;
- p-b=2 cm;
- p-c=3 cm.
Aleshores obtenim l'àrea: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
El triangle donat a la condició del problema és rectangle, cosa que és fàcil de comprovar si feu servir el teorema de Pitàgores. Com que l'àrea d'aquest triangle és la meitat del producte dels catets, obtenim: S=43/2=6 cm2.
El valor resultant és el mateix que per a la fórmula d'Heron, que confirma la validesa d'aquesta última.
