Segons, tangents: tot això es podia escoltar centenars de vegades a les lliçons de geometria. Però la graduació de l'escola s'ha acabat, passen els anys i tot aquest coneixement s'oblida. Què cal recordar?
Essència
El terme "tangent a un cercle" probablement és familiar per a tothom. Però és poc probable que tothom pugui formular ràpidament la seva definició. Mentrestant, una tangent és una línia recta que es troba en el mateix pla amb una circumferència que la talla només en un punt. Pot ser que n'hi hagi una gran varietat, però tots tenen les mateixes propietats, que es comentaran a continuació. Com podeu endevinar, el punt de contacte és el lloc on el cercle i la línia es tallen. En cada cas, és un, però si n'hi ha més, serà una secant.
Història del descobriment i l'estudi
El concepte de tangent va aparèixer a l'antiguitat. La construcció d'aquestes rectes, primer a un cercle, i després a el·lipses, paràboles i hipèrboles amb l'ajuda d'una regla i una brúixola, es va dur a terme fins i tot en les etapes inicials del desenvolupament de la geometria. Per descomptat, la història no ha conservat el nom del descobridor, peròés obvi que fins i tot en aquell moment, la gent era molt conscient de les propietats de la tangent al cercle.
En els temps moderns, l'interès per aquest fenomen va tornar a esclatar: va començar una nova ronda d'estudi d'aquest concepte, combinada amb el descobriment de noves corbes. Així doncs, Galileu va introduir el concepte de cicloide, i Fermat i Descartes van construir-hi una tangent. Pel que fa als cercles, sembla que no queden cap secret per als antics en aquesta zona.
Propietats
El radi dibuixat fins al punt d'intersecció serà perpendicular a la línia. Això és
la propietat principal, però no l'única, que té una tangent a una circumferència. Una altra característica important inclou ja dues línies rectes. Així, a través d'un punt situat fora de la circumferència, es poden dibuixar dues tangents, mentre que els seus segments seran iguals. Hi ha un altre teorema sobre aquest tema, però poques vegades es tracta en el marc d'un curs escolar estàndard, tot i que és extremadament convenient per resoldre alguns problemes. Sona així. Des d'un punt situat fora de la circumferència, s'hi dibuixen una tangent i una secant. Es formen els segments AB, AC i AD. A és la intersecció de línies, B és el punt de contacte, C i D són les interseccions. En aquest cas, serà vàlida la següent igu altat: la longitud de la tangent a la circumferència, al quadrat, serà igual al producte dels segments AC i AD.
De l'anterior hi ha una conseqüència important. Per a cada punt de la circumferència, podeu construir una tangent, però només una. La prova d'això és bastant simple: teòricament deixant caure una perpendicular del radi sobre ella, descobrim que el formatel triangle no pot existir. I això vol dir que la tangent és l'única.
Edifici
Entre altres problemes de geometria, hi ha una categoria especial, per regla general, no
estimat per alumnes i estudiants. Per resoldre tasques d'aquesta categoria, només necessiteu una brúixola i un regle. Aquestes són tasques de construcció. També hi ha mètodes per construir una tangent.
Doncs, donat un cercle i un punt fora dels seus límits. I cal dibuixar una tangent a través d'ells. Com fer-ho? En primer lloc, cal dibuixar un segment entre el centre del cercle O i un punt donat. Després, amb una brúixola, dividiu-lo per la meitat. Per fer-ho, heu d'establir el radi, una mica més de la meitat de la distància entre el centre del cercle original i el punt donat. Després d'això, heu de construir dos arcs que s'intersequen. A més, no cal canviar el radi de la brúixola i el centre de cada part del cercle serà el punt inicial i O, respectivament. S'han de connectar les interseccions dels arcs, la qual cosa dividirà el segment per la meitat. Estableix un radi a la brúixola igual a aquesta distància. A continuació, amb el centre al punt d'intersecció, dibuixeu un altre cercle. Tant el punt inicial com la O. En aquest cas, hi haurà dues interseccions més amb la circumferència donada al problema. Seran els punts de contacte per al punt donat inicialment.
Interessant
Va ser la construcció de tangents al cercle la que va portar al naixement de
càlcul diferencial. El primer treball sobre aquest tema va serpublicat pel famós matemàtic alemany Leibniz. Va preveure la possibilitat de trobar màxims, mínims i tangents, independentment dels valors fraccionaris i irracionals. Bé, ara també s'utilitza per a molts altres càlculs.
A més, la tangent a la circumferència està relacionada amb el significat geomètric de la tangent. D'aquí ve el seu nom. Traduït del llatí, tangens significa "tangent". Així, aquest concepte està connectat no només amb la geometria i el càlcul diferencial, sinó també amb la trigonometria.
Dos cercles
No sempre una tangent afecta només una forma. Si es poden dibuixar un gran nombre de línies rectes en un cercle, per què no a la inversa? Llauna. Però la tasca en aquest cas és seriosament complicada, perquè la tangent a dos cercles pot no passar per cap punt i la posició relativa de totes aquestes figures pot ser molt
diferent.
Tipus i varietats
Quan es tracta de dues circumferències i una o més rectes, encara que se sap que es tracta de tangents, no queda clar immediatament com es situen totes aquestes figures entre si. A partir d'això, hi ha diverses varietats. Per tant, els cercles poden tenir un o dos punts comuns o no tenir-los en absolut. En el primer cas, es creuaran, i en el segon, es tocaran. I aquí hi ha dues varietats. Si un cercle està, per dir-ho, incrustat en el segon, aleshores el tacte s'anomena intern, si no, extern. comprendre mutula ubicació de les figures és possible no només a partir del dibuix, sinó també tenint informació sobre la suma dels seus radis i la distància entre els seus centres. Si aquestes dues quantitats són iguals, aleshores els cercles es toquen. Si el primer és més gran, es tallen, i si és més petit, no tenen punts comuns.
El mateix amb les línies rectes. Per a dos cercles qualssevol que no tinguin punts comuns, pots
construeix quatre tangents. Dos d'ells es creuaran entre les figures, s'anomenen internes. Un parell més són externs.
Si estem parlant de cercles que tenen un punt en comú, la tasca es simplifica molt. El fet és que per a qualsevol acord mutu en aquest cas, només tindran una tangent. I passarà pel punt de la seva intersecció. Així que la construcció de la dificultat no causarà.
Si les figures tenen dos punts d'intersecció, llavors es pot construir una recta tangent a la circumferència, tant una com la segona, però només l'exterior. La solució a aquest problema és similar a la que es comentarà a continuació.
Resolució de problemes
Tant les tangents internes com les externes a dos cercles no són tan fàcils de construir, tot i que aquest problema es pot resoldre. El fet és que s'utilitza una figura auxiliar per a això, així que pensa en aquest mètode tu mateix
bastant problemàtic. Per tant, donats dos cercles amb radis i centres diferents O1 i O2. Per a ells, heu de construir dos parells de tangents.
Primer de tot, a prop del centre de la més grans'han de construir cercles auxiliars. En aquest cas, la diferència entre els radis de les dues figures inicials s'ha d'establir a la brúixola. Les tangents al cercle auxiliar es construeixen a partir del centre del cercle més petit. Després d'això, des de O1 i O2, es dibuixen perpendiculars a aquestes línies fins que es tallen amb les figures originals. Com es desprèn de la propietat principal de la tangent, es troben els punts desitjats en ambdues circumferències. Problema resolt, almenys la primera part.
Per construir tangents internes, hauràs de resoldre pràcticament
una tasca semblant. De nou, cal una figura auxiliar, però aquesta vegada el seu radi serà igual a la suma de les originals. Les tangents es construeixen a partir del centre d'un dels cercles donats. El curs posterior de la solució es pot entendre a partir de l'exemple anterior.
Tangent a un cercle o fins i tot a dos o més no és una tasca tan difícil. Per descomptat, els matemàtics fa temps que han deixat de resoldre aquests problemes manualment i confien els càlculs a programes especials. Però no us penseu que ara no cal poder fer-ho vos altres mateixos, perquè per formular correctament una tasca per a un ordinador cal fer i entendre molt. Malauradament, hi ha temors que, després de la transició final a la forma de prova de control del coneixement, les tasques de construcció causen cada cop més dificultats als estudiants.
Pel que fa a trobar tangents comunes per a més cercles, no sempre és possible, encara que estiguin en el mateix pla. Però en alguns casos podeu trobar una línia recta.
Exemples de vida
A la pràctica sovint es troba una tangent comuna a dos cercles, encara que no sempre es nota. Cintes transportadores, sistemes de blocs, corretges de transmissió de politges, tensió del fil en una màquina de cosir i fins i tot només una cadena de bicicleta: tots aquests són exemples de la vida. Així que no us penseu que els problemes geomètrics queden només en teoria: en enginyeria, física, construcció i moltes altres àrees, troben aplicacions pràctiques.
