Les funcions trigonomètriques inverses tradicionalment causen dificultats als escolars. La capacitat de calcular l'arc tangent d'un nombre pot ser necessària en tasques USE en planimetria i estereometria. Per resoldre amb èxit una equació i un problema amb un paràmetre, heu de tenir una comprensió de les propietats de la funció d'arc tangent.
Definició
L'arc tangent d'un nombre x és un nombre y la tangent del qual és x. Aquesta és la definició matemàtica.
La funció arctangent s'escriu com y=arctg x.
Més generalment: y=Carctg (kx + a).
Càlcul
Per entendre com funciona la funció trigonomètrica inversa de l'arctangent, primer cal recordar com es determina el valor de la tangent d'un nombre. Fem una ullada més de prop.
La tangent de x és la relació entre el sinus de x i el cosinus de x. Si es coneix almenys una d'aquestes dues magnituds, llavors el mòdul de la segona es pot obtenir a partir de la identitat trigonomètrica bàsica:
sin2 x + cos2 x=1.
Per desbloquejar el mòdul, caldrà una avaluació.
Siel nombre en si és conegut, i no les seves característiques trigonomètriques, llavors en la majoria dels casos cal estimar aproximadament la tangent del nombre fent referència a la taula de Bradis.
Les excepcions són els anomenats valors estàndard.
Es presenten a la taula següent:
A més de l'anterior, qualsevol valor obtingut de les dades afegint un nombre de la forma ½πк (к - qualsevol nombre enter, π=3, 14) es pot considerar estàndard.
Exactament el mateix passa amb l'arc tangent: la majoria de les vegades el valor aproximat es pot veure a la taula, però només es coneixen uns quants valors amb seguretat:
A la pràctica, quan es resolen problemes de matemàtiques escolars, s'acostuma a donar una resposta en forma d'expressió que contingui l'arc tangent, i no la seva estimació aproximada. Per exemple, arctg 6, arctg (-¼).
Traçar un gràfic
Com que la tangent pot prendre qualsevol valor, el domini de la funció arctangent és la recta numèrica sencera. Expliquem-ho amb més detall.
La mateixa tangent correspon a un nombre infinit d'arguments. Per exemple, no només la tangent de zero és igual a zero, sinó també la tangent de qualsevol nombre de la forma π k, on k és un nombre enter. Per tant, els matemàtics van acordar triar valors per a l'arc tangent de l'interval de -½ π a ½ π. S'ha d'entendre d'aquesta manera. El rang de la funció arctangent és l'interval (-½ π; ½ π). Els extrems del buit no estan inclosos, ja que la tangent -½p i ½p no existeixen.
A l'interval especificat, la tangent és contínuaaugmenta. Això vol dir que la funció inversa de l'arc tangent també augmenta contínuament a tota la recta numèrica, però limitada des de d alt i baix. Com a resultat, té dues asímptotes horitzontals: y=-½ π i y=½ π.
En aquest cas, tg 0=0, altres punts d'intersecció amb l'eix d'abscisses, tret de (0;0), el gràfic no pot tenir per augmentar.
Com es desprèn de la paritat de la funció tangent, l'arctangent té una propietat similar.
Per construir un gràfic, treu diversos punts d'entre els valors estàndard:
La derivada de la funció y=arctg x en qualsevol punt es calcula amb la fórmula:
Tingueu en compte que la seva derivada és positiva a tot arreu. Això és coherent amb la conclusió feta anteriorment sobre l'augment continu de la funció.
La segona derivada de l'arctangent s'esvaeix en el punt 0, és negativa per als valors positius de l'argument, i viceversa.
Això significa que la gràfica de la funció d'arc tangent té un punt d'inflexió a zero i és convex cap avall a l'interval (-∞; 0] i convex cap amunt a l'interval [0; +∞).
