Una de les branques de les matemàtiques amb què els escolars fan front a les dificultats més grans és la trigonometria. No és d'estranyar: per dominar lliurement aquesta àrea de coneixement, necessiteu un pensament espacial, la capacitat de trobar sinus, coseus, tangents, cotangents mitjançant fórmules, simplificar expressions i poder utilitzar el nombre pi en els càlculs. A més, cal ser capaç d'aplicar la trigonometria a l'hora de demostrar teoremes, i això requereix una memòria matemàtica desenvolupada o la capacitat de deduir cadenes lògiques complexes.
Els orígens de la trigonometria
La introducció a aquesta ciència hauria de començar amb la definició del sinus, el cosinus i la tangent d'un angle, però primer cal esbrinar què fa la trigonometria en general.
Històricament, els triangles rectangles han estat l'objecte principal d'investigació en aquesta secció de la ciència matemàtica. La presència d'un angle de 90 graus permet realitzar diverses operacions que en permeten doscostats i una cantonada o dues cantonades i un costat per determinar els valors de tots els paràmetres de la figura en qüestió. En el passat, la gent es va adonar d'aquest patró i va començar a utilitzar-lo activament en la construcció d'edificis, la navegació, l'astronomia i fins i tot l'art.
Inception
Al principi, la gent parlava de la relació d'angles i costats exclusivament amb l'exemple dels triangles rectangles. Aleshores es van descobrir fórmules especials, que van permetre ampliar els límits d'ús en la vida quotidiana d'aquesta secció de matemàtiques.
L'estudi de la trigonometria a l'escola avui comença amb triangles rectangles, després dels quals els coneixements adquirits els fan servir els estudiants de física i la resolució d'equacions trigonomètriques abstractes, treball amb el qual comença a l'institut.
Trigonometria esfèrica
Més tard, quan la ciència va arribar al següent nivell de desenvolupament, es van començar a utilitzar fórmules amb sinus, cosinus, tangents i cotangents en geometria esfèrica, on s'apliquen altres regles, i la suma dels angles en un triangle és sempre més gran. més de 180 graus. Aquest apartat no s'estudia a l'escola, però cal conèixer la seva existència, almenys perquè la superfície terrestre, i la superfície de qualsevol altre planeta, és convexa, el que significa que qualsevol marca de la superfície tindrà "forma d'arc". " a l'espai tridimensional.
Agafa un globus i un fil. Enganxeu el fil a dos punts qualsevol del globus terraqüi perquè estigui tens. Preste atenció: ha adquirit la forma d'un arc. Tracta aquestes formesgeometria esfèrica utilitzada en geodèsia, astronomia i altres camps teòrics i aplicats.
Triangle dret
Després d'haver après una mica sobre les maneres d'utilitzar la trigonometria, tornem a la trigonometria bàsica per entendre millor què són el sinus, el cosinus i la tangent, quins càlculs es poden fer amb la seva ajuda i quines fórmules utilitzar.
Primer de tot, cal entendre els conceptes relacionats amb un triangle rectangle. En primer lloc, la hipotenusa és el costat oposat a l'angle de 90 graus. Ella és la més llarga. Recordem que segons el teorema de Pitàgores, el seu valor numèric és igual a l'arrel de la suma dels quadrats dels altres dos costats.
Per exemple, si dos costats fan 3 i 4 centímetres respectivament, la longitud de la hipotenusa serà de 5 centímetres. Per cert, els antics egipcis ho sabien fa uns quatre mil anys i mig.
Els dos costats restants que formen un angle recte s'anomenen cames. A més, hem de recordar que la suma dels angles d'un triangle en un sistema de coordenades rectangulars és de 180 graus.
Definició
Finalment, tenint una comprensió sòlida de la base geomètrica, podem recórrer a la definició del sinus, el cosinus i la tangent d'un angle.
El sinus d'un angle és la relació entre el catet oposat (és a dir, el costat oposat a l'angle desitjat) a la hipotenusa. El cosinus d'un angle és la relació entre el catet adjacent i la hipotenusa.
Recordeu que ni el sinus ni el cosinus poden ser majors d'un! Per què?Perquè la hipotenusa és per defecte el costat més llarg d'un triangle rectangle. Per llarg que sigui el catet, serà més curt que la hipotenusa, la qual cosa vol dir que la seva relació sempre serà inferior a un. Així, si s'obté un sinus o cosinus amb un valor superior a 1 en la resposta al problema, busqueu un error en els càlculs o el raonament. Aquesta resposta és clarament incorrecta.
Finalment, la tangent d'un angle és la relació del costat oposat al costat adjacent. El mateix resultat donarà la divisió del sinus pel cosinus. Mireu: segons la fórmula, dividim la longitud del costat per la hipotenusa, després de la qual dividim per la longitud del segon costat i multipliquem per la hipotenusa. Així, obtenim la mateixa proporció que en la definició de la tangent.
Cotangent, respectivament, és la relació entre el costat adjacent a la cantonada i el costat oposat. Obtenim el mateix resultat dividint la unitat per la tangent.
Per tant, hem considerat les definicions de què és sinus, cosinus, tangent i cotangent, i podem tractar amb fórmules.
Fórmules simples
En trigonometria no es pot prescindir de fórmules: com trobar sinus, cosinus, tangents, cotangents sense elles? Però això és exactament el que cal per resoldre problemes.
La primera fórmula que has de saber quan comences a estudiar trigonometria diu que la suma dels quadrats del sinus i el cosinus d'un angle és igual a un. Aquesta fórmula és una conseqüència directa del teorema de Pitàgores, però estalvia temps si necessites esbrinar el valor de l'angle, no el costat.
Molts estudiants no recorden la segona fórmula, també moltpopular en la resolució de problemes escolars: la suma d'un i el quadrat de la tangent d'un angle és igual a un dividit pel quadrat del cosinus de l'angle. Fes una ullada més de prop: després de tot, aquesta és la mateixa afirmació que a la primera fórmula, només els dos costats de la identitat es van dividir pel quadrat del cosinus. Resulta que una simple operació matemàtica fa que la fórmula trigonomètrica sigui completament irreconeixible. Recordeu: sabent què és un sinus, cosinus, tangent i cotangent, les regles de conversió i algunes fórmules bàsiques, podeu obtenir en qualsevol moment de manera independent les fórmules més complexes necessàries en un tros de paper.
Fórmules de doble angle i addició d'arguments
Dues fórmules més per aprendre estan relacionades amb els valors del sinus i el cosinus per a la suma i diferència d'angles. Es mostren a la figura següent. Tingueu en compte que en el primer cas, el sinus i el cosinus es multipliquen les dues vegades, i en el segon cas, s'afegeix el producte per parelles del sinus i el cosinus.
També hi ha fórmules associades amb arguments de doble angle. Es deriven completament dels anteriors; com a pràctica, intenteu obtenir-los vos altres mateixos, prenent l'angle d'alfa igual a l'angle de beta.
Finalment, tingueu en compte que les fórmules de doble angle es poden convertir per reduir el grau de sinus, cosinus i tangent alfa.
Teoremes
Els dos teoremes principals de la trigonometria bàsica són el teorema del sinus i el teorema del cosinus. Amb l'ajuda d'aquests teoremes, podeu entendre fàcilment com trobar el sinus, el cosinus i la tangent i, per tant, l'àrea de la figura i la magnitud.cada costat, etc.
El teorema del sinus diu que com a resultat de dividir la longitud de cadascun dels costats d'un triangle pel valor de l'angle oposat, obtenim el mateix nombre. A més, aquest nombre serà igual a dos radis del cercle circumscrit, és a dir, el cercle que conté tots els punts del triangle donat.
El teorema del cosinus generalitza el teorema de Pitàgores, projectant-lo sobre qualsevol triangles. Resulta que de la suma dels quadrats dels dos costats, resta el seu producte, multiplicat pel doble cosinus de l'angle adjacent a ells; el valor resultant serà igual al quadrat del tercer costat. Així, el teorema de Pitàgores resulta ser un cas especial del teorema del cosinus.
Errores per f alta d'atenció
Fins i tot sabent què són el sinus, el cosinus i la tangent, és fàcil equivocar-se per distracció o error en els càlculs més senzills. Per evitar aquests errors, fem una ullada als més populars.
En primer lloc, no convertiu les fraccions comunes a decimals abans d'obtenir el resultat final; podeu deixar la resposta com a fracció comuna, tret que s'indiqui el contrari a la condició. Aquesta transformació no es pot anomenar un error, però cal recordar que en cada etapa de la tasca poden aparèixer noves arrels que, segons la idea de l'autor, s'han de reduir. En aquest cas, perdreu el temps en operacions matemàtiques innecessàries. Això és especialment cert per a valors com l'arrel de tres o dos, perquè es produeixen a les tasques a cada pas. El mateix passa amb l'arrodoniment. Números "lletges".
A continuació, tingueu en compte que el teorema del cosinus s'aplica a qualsevol triangle, però no al teorema de Pitàgores! Si oblideu per error restar el doble del producte dels costats multiplicat pel cosinus de l'angle entre ells, no només obtindreu un resultat completament equivocat, sinó que també demostrareu una completa incomprensió del tema. Això és pitjor que un error negligent.
Tercer, no confongueu els valors dels angles de 30 i 60 graus per als sinus, cosinus, tangents, cotangents. Recordeu aquests valors, perquè el sinus de 30 graus és igual al cosinus de 60, i viceversa. És fàcil barrejar-los i, inevitablement, obtindreu un resultat erroni.
Aplicació
Molts estudiants no tenen pressa per començar a estudiar trigonometria, perquè no entenen el significat aplicat. Què és el sinus, el cosinus, la tangent per a un enginyer o astrònom? Són conceptes gràcies als quals es pot calcular la distància a estrelles llunyanes, predir la caiguda d'un meteorit, enviar una sonda d'investigació a un altre planeta. Sense ells, és impossible construir un edifici, dissenyar un cotxe, calcular la càrrega a la superfície o la trajectòria d'un objecte. I aquests són només els exemples més evidents! Després de tot, la trigonometria d'una forma o una altra s'utilitza a tot arreu, des de la música fins a la medicina.
En conclusió
Per tant, ja saps què són el sinus, el cosinus i la tangent. Podeu utilitzar-los en càlculs i resoldre amb èxit problemes escolars.
Tot el puntla trigonometria es redueix al fet que segons els paràmetres coneguts del triangle, cal calcular les incògnites. Hi ha sis paràmetres en total: les longituds de tres costats i les magnituds de tres angles. Tota la diferència de les tasques rau en el fet que es donen dades d'entrada diferents.
Com trobar el sinus, el cosinus i la tangent a partir de les longituds conegudes dels catets o de la hipotenusa, ara ho sabeu. Com que aquests termes no signifiquen més que una raó, i una raó és una fracció, l'objectiu principal del problema trigonomètric és trobar les arrels d'una equació ordinària o d'un sistema d'equacions. I aquí us ajudaran les matemàtiques habituals de l'escola.
