Quan s'estudia el comportament dels gasos en física, sovint sorgeixen problemes per determinar l'energia emmagatzemada en ells, que teòricament es pot utilitzar per realitzar algun treball útil. En aquest article, analitzarem la qüestió de quines fórmules es poden utilitzar per calcular l'energia interna d'un gas ideal.
El concepte de gas ideal
Una comprensió clara del concepte de gas ideal és important a l'hora de resoldre problemes amb sistemes en aquest estat d'agregació. Qualsevol gas pren la forma i el volum del recipient on es col·loca, però no tots els gasos són ideals. Per exemple, l'aire es pot considerar una barreja de gasos ideals, mentre que el vapor d'aigua no. Quina és la diferència fonamental entre els gasos reals i el seu model ideal?
La resposta a la pregunta seran les dues característiques següents:
- la relació entre l'energia cinètica i potencial de les molècules i els àtoms que formen el gas;
- proporció entre les mides lineals de les partículesgas i la distància mitjana entre ells.
Un gas només es considera ideal si l'energia cinètica mitjana de les seves partícules és incommensurablement més gran que l'energia d'unió entre elles. La diferència entre aquestes energies és tal que podem suposar que la interacció entre partícules està completament absent. A més, un gas ideal es caracteritza per l'absència de dimensions de les seves partícules, o millor dit, aquestes dimensions es poden ignorar, ja que són molt més petites que les distàncies mitjanes entre partícules.
Els bons criteris empírics per determinar la idealitat d'un sistema de gas són les seves característiques termodinàmiques com la temperatura i la pressió. Si el primer és superior a 300 K i el segon és inferior a 1 atmosfera, qualsevol gas es pot considerar ideal.
Quina és l'energia interna d'un gas?
Abans d'escriure la fórmula de l'energia interna d'un gas ideal, cal conèixer aquesta característica més de prop.
En termodinàmica, l'energia interna s'acostuma a indicar amb la lletra llatina U. En el cas general, ve determinada per la fórmula següent:
U=H - PV
On H és l'entalpia del sistema, P i V són pressió i volum.
En el seu significat físic, l'energia interna consta de dos components: cinètic i potencial. El primer s'associa amb diversos tipus de moviment de les partícules del sistema, i el segon, amb la interacció de força entre elles. Si apliquem aquesta definició al concepte de gas ideal, que no té energia potencial, aleshores el valor de U en qualsevol estat del sistema serà exactament igual a la seva energia cinètica, és a dir:
U=Ek.
Derivació de la fórmula d'energia interna
A d alt, hem trobat que per determinar-ho per a un sistema amb un gas ideal, cal calcular-ne l'energia cinètica. Pel curs de la física general se sap que l'energia d'una partícula de massa m, que avança en una direcció determinada amb una velocitat v, ve determinada per la fórmula:
Ek1=mv2/2.
També es pot aplicar a partícules de gas (àtoms i molècules), però cal fer algunes observacions.
En primer lloc, la velocitat v s'ha d'entendre com un valor mitjà. El fet és que les partícules de gas es mouen a diferents velocitats segons la distribució de Maxwell-Boltzmann. Aquest últim permet determinar la velocitat mitjana, que no varia amb el temps si no hi ha influències externes al sistema.
En segon lloc, la fórmula per a Ek1 suposa energia per grau de llibertat. Les partícules de gas es poden moure en les tres direccions, i també girar en funció de la seva estructura. Per tenir en compte el grau de llibertat z, s'hauria de multiplicar per Ek1, és a dir:
Ek1z=z/2mv2.
L'energia cinètica de tot el sistema Ek és N vegades més gran que Ek1z, on N és el nombre total de partícules de gas. Aleshores per a U obtenim:
U=z/2Nmv2.
Segons aquesta fórmula, un canvi en l'energia interna d'un gas només és possible si el nombre de partícules N es modifica ensistema, o la seva velocitat mitjana v.
Energia i temperatura interna
Aplicant les disposicions de la teoria cinètica molecular d'un gas ideal, podem obtenir la fórmula següent per a la relació entre l'energia cinètica mitjana d'una partícula i la temperatura absoluta:
mv2/2=1/2kBT.
Aquí kB és la constant de Boltzmann. Substituint aquesta igu altat a la fórmula de U obtinguda al paràgraf anterior, arribem a la següent expressió:
U=z/2NkBT.
Aquesta expressió es pot reescriure en termes de la quantitat de substància n i la constant de gas R de la forma següent:
U=z/2nR T.
D'acord amb aquesta fórmula, un canvi en l'energia interna d'un gas és possible si es modifica la seva temperatura. Els valors U i T depenen linealment entre si, és a dir, la gràfica de la funció U(T) és una recta.
Com afecta l'estructura d'una partícula de gas a l'energia interna d'un sistema?
L'estructura d'una partícula de gas (molècula) fa referència al nombre d'àtoms que la formen. Té un paper decisiu quan es substitueix el grau de llibertat z corresponent a la fórmula per U. Si el gas és monoatòmic, la fórmula de l'energia interna del gas passa a ser:
U=3/2nRT.
D'on prové el valor z=3? La seva aparença només s'associa amb tres graus de llibertat que té un àtom, ja que només es pot moure en una de les tres direccions espacials.
Si és diatòmicmolècula de gas, llavors l'energia interna s'ha de calcular mitjançant la fórmula següent:
U=5/2nRT.
Com podeu veure, una molècula diatòmica ja té 5 graus de llibertat, 3 dels quals són de translació i 2 de rotació (d'acord amb la geometria de la molècula, pot girar al voltant de dos eixos mútuament perpendiculars).
Finalment, si el gas és tres o més atòmics, aleshores la següent expressió per a U és certa:
U=3nRT.
Les molècules complexes tenen 3 graus de llibertat de translació i 3 de rotació.
Exemple de problema
Sota el pistó hi ha un gas monoatòmic a una pressió d'1 atmosfera. Com a resultat de l'escalfament, el gas es va expandir de manera que el seu volum va augmentar de 2 litres a 3. Com va canviar l'energia interna del sistema de gas si el procés d'expansió era isobàric.
Per resoldre aquest problema, les fórmules que es donen a l'article no són suficients. Cal recordar l'equació d'estat d'un gas ideal. Sembla a continuació.
Com que el pistó tanca el cilindre amb gas, la quantitat de substància n es manté constant durant el procés d'expansió. Durant un procés isobàric, la temperatura canvia en proporció directa al volum del sistema (llei de Charles). Això vol dir que la fórmula anterior seria:
PΔV=nRΔT.
Llavors l'expressió de l'energia interna d'un gas monoatòmic tindrà la forma:
ΔU=3/2PΔV.
Substituint en aquesta equació els valors de canvi de pressió i volum en unitats SI, obtenim la resposta: ΔU ≈ 152 J.
