Una de les figures que es produeix en resoldre problemes geomètrics a l'espai és un con. A diferència dels poliedres, pertany a la classe de les figures de rotació. Considerem a l'article què s'entén per geometria i explorem les característiques de diverses seccions del con.
Con en geometria
Suposem que hi ha alguna corba al pla. Pot ser una paràbola, un cercle, una el·lipse, etc. Agafeu un punt que no pertanyi al pla especificat i connecteu-hi tots els punts de la corba. La superfície resultant s'anomena con o simplement con.
Si la corba original està tancada, la superfície cònica es pot omplir de matèria. La figura obtinguda d'aquesta manera és un cos tridimensional. També s'anomena con. A continuació es mostren diversos cons de paper.
La superfície cònica es troba a la vida quotidiana. Per exemple, un con de gelat o un con de trànsit ratllat té aquesta forma, que està dissenyat per cridar l'atenció dels conductors ivianants.
Tipus de cons
Com podeu suposar, les figures considerades difereixen entre si pel tipus de corba sobre la qual es formen. Per exemple, hi ha un con rodó o un el·líptic. Aquesta corba s'anomena base de la figura. Tanmateix, la forma de la base no és l'única característica que permet classificar els cons.
La segona característica important és la posició de l'alçada respecte a la base. L'alçada d'un con és un segment de línia recta, que es baixa des de la part superior de la figura fins al pla de la base i és perpendicular a aquest pla. Si l'alçada talla la base al centre geomètric (per exemple, al centre del cercle), aleshores el con serà recte, si el segment perpendicular cau a qualsevol altre punt de la base o més enllà d'ell, aleshores la figura serà oblic.
Més endavant en l'article considerarem només un con recte rodó com a representant brillant de la classe de figures considerada.
Noms geomètrics dels elements del con
A d alt es deia que el con té una base. Està delimitat per un cercle, que s'anomena guia del con. Els segments que connecten la guia amb un punt que no es troba en el pla de la base s'anomenen generadors. El conjunt de tots els punts dels generadors s'anomena superfície cònica o lateral de la figura. Per a un con rodó dret, tots els generadors tenen la mateixa longitud.
El punt on es tallen els generadors s'anomena la part superior de la figura. A diferència dels poliedres, un con té un sol vèrtex i novora.
Una línia recta que passa per la part superior de la figura i el centre del cercle s'anomena eix. L'eix conté l'alçada d'un con recte, de manera que forma un angle recte amb el pla de la base. Aquesta informació és important a l'hora de calcular l'àrea de la secció axial del con.
Con recte rodó - xifra de rotació
El con considerat és una figura força simètrica, que es pot obtenir com a resultat de la rotació del triangle. Suposem que tenim un triangle amb un angle recte. Per obtenir un con, n'hi ha prou de girar aquest triangle al voltant d'una de les potes, tal com es mostra a la figura següent.
Es pot veure que l'eix de rotació és l'eix del con. Una de les potes serà igual a l'alçada de la figura i la segona es convertirà en el radi de la base. La hipotenusa d'un triangle com a resultat de la rotació descriu una superfície cònica. Serà la generatriu del con.
Aquest mètode d'obtenció d'un con recte rodó és convenient per estudiar la relació matemàtica entre els paràmetres lineals de la figura: l'alçada h, el radi de la base rodona r i la guia g. La fórmula corresponent es desprèn de les propietats d'un triangle rectangle. A continuació es mostra:
g2=h2+ r2.
Com que tenim una equació i tres variables, això vol dir que per establir de manera única els paràmetres d'un con rodó, cal conèixer dues quantitats.
Seccions d'un con per un pla que no conté el vèrtex de la figura
La qüestió de construir seccions d'una figura no ho éstrivial. El fet és que la forma de la secció del con per la superfície depèn de la posició relativa de la figura i de la secant.
Suposem que tallem el con amb un pla. Quin serà el resultat d'aquesta operació geomètrica? Les opcions de forma de secció es mostren a la figura següent.
La secció rosa és un cercle. Es forma com a resultat de la intersecció de la figura amb un pla paral·lel a la base del con. Són seccions perpendiculars a l'eix de la figura. La figura formada per sobre del pla de tall és un con similar a l'original, però amb un cercle més petit a la base.
La secció verda és una el·lipse. S'obté si el pla de tall no és paral·lel a la base, sinó que només talla la superfície lateral del con. Una figura tallada per sobre del pla s'anomena con oblic el·líptic.
Les seccions blava i taronja són parabòliques i hiperbòliques, respectivament. Com podeu veure a la figura, s'obtenen si el pla de tall talla simultàniament la superfície lateral i la base de la figura.
Per determinar les àrees de les seccions del con que s'han considerat, cal utilitzar les fórmules de la figura corresponent en el pla. Per exemple, per a un cercle, aquest és el nombre Pi multiplicat pel quadrat del radi, i per a una el·lipse, aquest és el producte de Pi i la longitud dels semieixos menor i major:
cercle: S=pir2;
el·lipse: S=piab.
Seccions que contenen la part superior del con
Ara considereu les opcions de seccions que sorgeixen si el pla de tall éspassar per la part superior del con. Són possibles tres casos:
- La secció és un únic punt. Per exemple, un pla que passa pel vèrtex i paral·lel a la base dóna només aquesta secció.
- La secció és una línia recta. Aquesta situació es produeix quan el pla és tangent a una superfície cònica. La línia recta de la secció en aquest cas serà la generatriu del con.
- Secció axial. Es forma quan el pla conté no només la part superior de la figura, sinó també tot el seu eix. En aquest cas, el pla serà perpendicular a la base rodona i dividirà el con en dues parts iguals.
Òbviament, les àrees dels dos primers tipus de seccions són iguals a zero. Pel que fa a l'àrea de la secció transversal del con per al tercer tipus, aquest problema es tracta amb més detall al paràgraf següent.
Secció axial
A d alt es va assenyalar que la secció axial d'un con és la figura que es forma quan el con es talla per un pla que passa pel seu eix. És fàcil endevinar que aquesta secció representarà la figura que es mostra a la figura següent.
Aquest és un triangle isòsceles. El vèrtex de la secció axial del con és el vèrtex d'aquest triangle, format per la intersecció de costats idèntics. Aquests últims són iguals a la longitud de la generatriu del con. La base del triangle és el diàmetre de la base del con.
Calcular l'àrea de la secció axial d'un con es redueix a trobar l'àrea del triangle resultant. Si inicialment es coneix el radi de la base r i l'alçada h del con, l'àrea S de la secció considerada serà:
S=hr.
Aixòl'expressió és conseqüència d'aplicar la fórmula estàndard per a l'àrea d'un triangle (la meitat del producte de l' altura per la base).
Tingueu en compte que si la generatriu d'un con és igual al diàmetre de la seva base rodona, aleshores la secció axial del con és un triangle equilàter.
Es forma una secció triangular quan el pla de tall és perpendicular a la base del con i passa pel seu eix. Qualsevol altre pla paral·lel a l'anomenat donarà una hipèrbola en secció. Tanmateix, si el pla conté el vèrtex del con i talla la seva base no a través del diàmetre, llavors la secció resultant també serà un triangle isòsceles.
El problema de determinar els paràmetres lineals del con
Mostrem com utilitzar la fórmula escrita per a l'àrea de la secció axial per resoldre un problema geomètric.
Se sap que l'àrea de la secció axial del con és de 100 cm2. El triangle resultant és equilàter. Quina és l'alçada del con i el radi de la seva base?
Com que el triangle és equilàter, la seva alçada h està relacionada amb la longitud del costat a de la següent manera:
h=√3/2a.
Donat que el costat del triangle és el doble del radi de la base del con, i substituint aquesta expressió a la fórmula de l'àrea de la secció transversal, obtenim:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Llavors l'alçada del con és:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Resta substituir el valor de l'àrea per l'estat del problemai obteniu la resposta:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
En quines àrees és important conèixer els paràmetres dels trams considerats?
L'estudi de diversos tipus de seccions de con no només té interès teòric, sinó que també té aplicacions pràctiques.
En primer lloc, cal destacar l'àrea de l'aerodinàmica, on amb l'ajuda de seccions còniques és possible crear formes llises ideals de cossos sòlids.
En segon lloc, les seccions còniques són trajectòries al llarg de les quals els objectes espacials es mouen en camps gravitatoris. Quin tipus específic de secció representa la trajectòria del moviment dels cossos còsmics del sistema està determinat per la relació de les seves masses, velocitats absolutes i distàncies entre ells.
