A la pràctica, sovint sorgeixen tasques que requereixen la capacitat de construir seccions de formes geomètriques de diverses formes i trobar l'àrea de les seccions. En aquest article, veurem com es construeixen les seccions importants d'un prisma, una piràmide, un con i un cilindre, i com calcular-ne les àrees.
figures 3D
De l'estereometria se sap que una figura tridimensional de qualsevol tipus està limitada per una sèrie de superfícies. Per exemple, per a políedres com un prisma i una piràmide, aquestes superfícies són els costats poligonals. Per a un cilindre i un con, estem parlant de superfícies de revolució de figures cilíndriques i còniques.
Si agafem un pla i tallem arbitràriament la superfície d'una figura tridimensional, obtindrem una secció. La seva àrea és igual a l'àrea de la part del pla que estarà dins del volum de la figura. El valor mínim d'aquesta àrea és zero, que es realitza quan el pla toca la figura. Per exemple, una secció que està formada per un únic punt s'obté si el pla passa per la part superior d'una piràmide o d'un con. Depèn del valor màxim de l'àrea de la secció transversalla posició relativa de la figura i el pla, així com la forma i la mida de la figura.
A continuació, veurem com calcular l'àrea de seccions formades per a dues figures de revolució (cilindre i con) i dos poliedres (piràmide i prisma).
Cilindre
El cilindre circular és una figura de rotació d'un rectangle al voltant de qualsevol dels seus costats. El cilindre es caracteritza per dos paràmetres lineals: radi base r i alçada h. El diagrama següent mostra com és un cilindre recte circular.
Hi ha tres tipus de seccions importants per a aquesta figura:
- ronda;
- rectangular;
- el·líptic.
El·líptica es forma com a resultat del pla que talla la superfície lateral de la figura amb algun angle respecte a la seva base. Rodona és el resultat de la intersecció del pla de tall de la superfície lateral paral·lela a la base del cilindre. Finalment, s'obté un rectangular si el pla de tall és paral·lel a l'eix del cilindre.
L'àrea circular es calcula amb la fórmula:
S1=pir2
L'àrea de la secció axial, és a dir, rectangular, que passa per l'eix del cilindre, es defineix de la següent manera:
S2=2rh
Seccions de con
Un con és una figura de rotació d'un triangle rectangle al voltant d'una de les cames. El con té una part superior i una base rodona. Els seus paràmetres també són el radi r i l'alçada h. A continuació es mostra un exemple d'un con de paper.
Hi ha diversos tipus de seccions còniques. Enumerem-los:
- ronda;
- el·líptic;
- parabòlica;
- hiperbòlica;
- triangular.
Es substitueixen entre si si augmenta l'angle d'inclinació del pla secant respecte a la base rodona. La manera més senzilla és escriure les fórmules per a l'àrea de la secció transversal de circular i triangular.
Es forma una secció circular com a resultat de la intersecció d'una superfície cònica amb un pla paral·lel a la base. Per a la seva àrea, és vàlida la fórmula següent:
S1=pir2z2/h 2
Aquí z és la distància des de la part superior de la figura fins a la secció formada. Es pot veure que si z=0, aleshores el pla passa només pel vèrtex, de manera que l'àrea S1 serà igual a zero. Des de z < h, l'àrea de la secció en estudi sempre serà inferior al seu valor per a la base.
Triangular s'obté quan el pla talla la figura al llarg del seu eix de rotació. La forma de la secció resultant serà un triangle isòsceles, els costats del qual són el diàmetre de la base i dos generadors del con. Com trobar l'àrea de la secció transversal d'un triangular? La resposta a aquesta pregunta serà la fórmula següent:
S2=rh
Aquesta igu altat s'obté aplicant la fórmula de l'àrea d'un triangle arbitrari a través de la longitud de la seva base i alçada.
Seccions de prismes
Prism és una gran classe de figures que es caracteritzen per la presència de dues bases poligonals idèntiques paral·leles entre si,connectats per paral·lelograms. Qualsevol secció d'un prisma és un polígon. Atesa la diversitat de les figures considerades (prismes oblics, rectes, n-gonals, regulars, còncaus), també és gran la varietat de les seves seccions. A continuació, només considerem alguns casos especials.
Si el pla de tall és paral·lel a la base, l'àrea de la secció transversal del prisma serà igual a l'àrea d'aquesta base.
Si el pla passa pels centres geomètrics de les dues bases, és a dir, és paral·lel a les vores laterals de la figura, aleshores es forma un paral·lelogram a la secció. En el cas de prismes rectes i regulars, la vista en secció considerada serà un rectangle.
Piràmide
La piràmide és un altre políedre que consta d'un n-gon i n triangles. A continuació es mostra un exemple de piràmide triangular.
Si la secció està dibuixada per un pla paral·lel a la base n-gonal, aleshores la seva forma serà exactament igual a la forma de la base. L'àrea d'aquesta secció es calcula amb la fórmula:
S1=So(h-z)2/h 2
On z és la distància de la base al pla de secció, So és l'àrea de la base.
Si el pla de tall conté la part superior de la piràmide i talla la seva base, obtenim una secció triangular. Per calcular la seva àrea, has de fer referència a l'ús de la fórmula adequada per a un triangle.
