A la paraula "infinit" cada persona té les seves pròpies associacions. Molts dibuixen en la seva imaginació el mar que va més enllà de l'horitzó, mentre que d' altres tenen davant els ulls la imatge d'un cel estrellat sense fi. Els matemàtics, acostumats a operar amb nombres, imaginen l'infinit d'una manera completament diferent. Durant molts segles han estat intentant trobar la major de les magnituds físiques necessàries per mesurar. Un d'ells és el nombre de Graham. Aquest article us dirà quants zeros hi ha i per a què s'utilitza.
Número infinitament gran
En matemàtiques, aquest és el nom d'aquesta variable x , si per a qualsevol nombre positiu donat M es pot especificar un nombre natural N tal que per a tots els nombres n majors que N la desigu altat |x | > M. No obstant això, no, per exemple, l'enter Z es pot considerar infinitament gran, ja que sempre serà menor que (Z + 1).
Unes paraules sobre "gegants"
Els nombres més grans que tenen significat físic es consideren:
- 1080. Aquest nombre, que s'anomena comunament quinquavigintilió, s'utilitza per indicar el nombre aproximat de quarks i leptons (les partícules més petites) a l'Univers.
- 1 Google. Aquest nombre en el sistema decimal s'escriu com una unitat amb 100 zeros. Segons alguns models matemàtics, des del moment del big bang fins a l'explosió del forat negre més massiu, haurien de passar d'1 a 1,5 anys googol, després dels quals el nostre univers passarà a l'última etapa de la seva existència, és a dir, podem suposa que aquest número té un significat físic determinat.
- 8, 5 x 10185. La constant de Planck és 1,616199 x 10-35 m, és a dir, en notació decimal sembla 0,0000000000000000000000000000616199 m. Hi ha aproximadament 1 googol de longitud de Planck en una polzada. S'estima que unes 8,5 x 10185 Llargades de Planck poden cabre en tot el nostre univers.
- 277 232 917 – 1. Aquest és el nombre primer més gran conegut. Si la seva notació binària té una forma força compacta, per representar-la en forma decimal, caldrà no menys de 13 milions de caràcters. Es va trobar l'any 2017 com a part d'un projecte per buscar números de Mersenne. Si els entusiastes continuen treballant en aquesta direcció, aleshores, al nivell actual de desenvolupament de la tecnologia informàtica, en un futur proper és poc probable que puguin trobar un nombre de Mersenne d'un ordre de magnitud superior a 277 232 917- 1, encara que tall'afortunat guanyador rebrà 150.000 USD.
- Hugoplex. Aquí només agafem 1 i afegim zeros després d'ell en la quantitat d'1 googol. Podeu escriure aquest nombre com a 10^10^100. És impossible representar-lo en forma decimal, perquè si tot l'espai de l'Univers s'omple de trossos de paper, en cadascun dels quals s'escriuria 0 amb una mida de lletra "Paraula" de 10, en aquest cas només la meitat de s'obtindrien el 0 després de l'1 per al número de googolplex.
- 10^10^10^10^10^1.1. Aquest és un nombre que mostra el nombre d'anys després dels quals, segons el teorema de Poincaré, el nostre Univers, com a resultat de fluctuacions quàntiques aleatòries, tornarà a un estat proper a l'actual.
Com van sorgir els números de Graham
El 1977, el conegut divulgador de la ciència Martin Gardner va publicar un article a Scientific American sobre la demostració de Graham d'un dels problemes de la teoria de Ramse. En ell, va anomenar el límit establert pel científic el nombre més gran que s'ha utilitzat mai en raonaments matemàtics seriosos.
Qui és Ronald Lewis Graham
El científic, ara als 80 anys, va néixer a Califòrnia. El 1962, va rebre un doctorat en matemàtiques per la Universitat de Berkeley. Va treballar a Bell Labs durant 37 anys i més tard es va traslladar a AT&T Labs. El científic va col·laborar activament amb un dels matemàtics més grans del segle XX, Pal Erdős, i és el guanyador de nombrosos premis prestigiosos. La bibliografia científica de Graham conté més de 320 articles científics.
A mitjans dels anys 70, el científic estava interessat en el problema associat a la teoriaRamsey. En la seva prova, es va determinar el límit superior de la solució, que és un nombre molt gran, que posteriorment va rebre el nom de Ronald Graham.
Problema d'hipercub
Per entendre l'essència del nombre Graham, primer has d'entendre com es va obtenir.
El científic i el seu col·lega Bruce Rothschild estaven resolent el problema següent:
Hi ha un hipercub n-dimensional. Tots els parells dels seus vèrtexs estan connectats de tal manera que s'obté un gràfic complet amb 2vèrtexs. Cadascuna de les seves vores és de color blau o vermell. Es va requerir trobar el nombre mínim de vèrtexs que hauria de tenir un hipercub perquè cada coloració contingués un subgraf monocromàtic complet amb 4 vèrtexs situats en el mateix pla.
Decisió
Graham i Rothschild van demostrar que el problema té una solució N' que compleix la condició 6 ⩽ N' ⩽N on N és un nombre molt gran i ben definit.
El límit inferior de N va ser perfeccionat posteriorment per altres científics, que van demostrar que N ha de ser major o igual a 13. Així, l'expressió per al nombre més petit de vèrtexs d'un hipercub que compleix les condicions presentades anteriorment es va convertir en 13 ⩽ N'⩽ N.
Notació de fletxa de Knuth
Abans de definir el nombre de Graham, hauríeu de familiaritzar-vos amb el mètode de la seva representació simbòlica, ja que ni la notació decimal ni la binària són del tot adequada per a això.
Actualment, la notació de fletxa de Knuth s'utilitza per representar aquesta quantitat. Segons ella:
ab=una "fletxa cap amunt" b.
Per a l'operació d'exponenciació múltiple, es va introduir l'entrada:
a "fletxa amunt" "fletxa amunt" b=ab="una torre formada per a en la quantitat de b peces."
I per a la pentació, és a dir, la designació simbòlica de l'exponenciació repetida de l'operador anterior, Knuth ja va utilitzar 3 fletxes.
Utilitzant aquesta notació per al nombre de Graham, tenim seqüències de "fletxes" imbricades entre si, en una quantitat de 64 peces.
Escala
El seu famós nombre, que excita la imaginació i amplia els límits de la consciència humana, portant-la més enllà dels límits de l'Univers, Graham i els seus col·legues l'obtenen com a límit superior per al nombre N a la prova de l'hipercub. problema presentat anteriorment. És extremadament difícil per a una persona normal imaginar la gran escala que té.
La qüestió del nombre de caràcters, o com de vegades es diu erròniament, els zeros en el nombre de Graham, interessa gairebé tots els que escolten aquest valor per primera vegada.
N'hi ha prou amb dir que estem davant d'una seqüència de creixement ràpid que consta de 64 membres. Fins i tot el seu primer terme és impossible d'imaginar, ja que consta de n "torres", que consisteixen en 3-to. Ja el seu "pis inferior" de 3 triples és igual a 7.625.597.484.987, és a dir, supera els 7.000 milions, és a dir, sobre el pis 64 (no és membre!). Així, actualment és impossible dir exactament quin és el nombre de Graham, ja que no n'hi ha prou per calcular-lo.la potència combinada de tots els ordinadors que existeixen avui a la Terra.
Rècord trencat?
En el procés de demostrar el teorema de Kruskal, el nombre de Graham va ser "llençat del seu pedestal". El científic va proposar el problema següent:
Hi ha una seqüència infinita d'arbres finits. Kruskal va demostrar que sempre existeix una secció d'algun gràfic, que és alhora una part d'un gràfic més gran i la seva còpia exacta. Aquesta afirmació no planteja cap dubte, ja que és obvi que sempre hi haurà una combinació exactament repetida a l'infinit
Més tard, Harvey Friedman va reduir una mica aquest problema en considerar només aquests gràfics acíclics (arbres) que per a un determinat amb coeficient i hi ha com a màxim (i + k) vèrtexs. Va decidir esbrinar quin havia de ser el nombre de gràfics acíclics, de manera que amb aquest mètode de la seva tasca sempre fos possible trobar un subarbre que s'incrustaria en un altre arbre.
Com a resultat de la investigació sobre aquest tema, es va trobar que N, depenent de k, creix a una velocitat tremenda. En particular, si k=1, aleshores N=3. Tanmateix, a k=2, N ja arriba a 11. El més interessant comença quan k=3. En aquest cas, N "enlaira" ràpidament i arriba a un valor que és moltes vegades més gran que el nombre de Graham. Per imaginar el gran que és, n'hi ha prou d'escriure el nombre calculat per Ronald Graham en forma de G64 (3). Aleshores, el valor de Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)), serà de l'ordre de G(G(187196)). En altres paraules, s'obté un mega-valor, que és infinitament més granun nombre de Graham inimaginablement gran. Al mateix temps, fins i tot serà inferior a l'infinit un nombre gegant de vegades. Té sentit parlar d'aquest concepte amb més detall.
Infinit
Ara que hem explicat què és el nombre de Graham als dits, hauríem d'entendre el significat que s'ha invertit i s'està invertint en aquest concepte filosòfic. Després de tot, "infinit" i "un nombre infinitament gran" es poden considerar idèntics en un context determinat.
La major contribució a l'estudi d'aquesta qüestió la va fer Aristòtil. El gran pensador de l'antiguitat dividia l'infinit en potencial i actual. Amb aquest últim, volia dir la realitat de l'existència de coses infinites.
Segons Aristòtil, les fonts d'idees sobre aquest concepte fonamental són:
- time;
- separació de valors;
- el concepte de la frontera i l'existència d'alguna cosa més enllà;
- la inesgotable naturalesa creativa;
- pensament que no té límits.
En la interpretació moderna de l'infinit, no podeu especificar una mesura quantitativa, de manera que la cerca del nombre més gran pot continuar per sempre.
Conclusió
La metàfora "Mira a l'infinit" i el número de Graham es poden considerar sinònims en algun sentit? Més aviat sí i no. Tots dos són impossibles d'imaginar, fins i tot amb la imaginació més forta. Tanmateix, com ja s'ha dit, no es pot considerar "el més, el més". Una altra cosa és que de moment, els valors més grans que el nombre de Graham no tenen establertsentit físic.
A més, no té les propietats d'un nombre infinit, com ara:
- ∞ + 1=∞;
- hi ha un nombre infinit de nombres parells i senars;
- ∞ - 1=∞;
- el nombre de nombres senars és exactament la meitat de tots els nombres;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Per resumir: el nombre de Graham és el nombre més gran en la pràctica de la demostració matemàtica, segons el Llibre Guinness dels Rècords. Tanmateix, hi ha números que són moltes vegades més grans que aquest valor.
El més probable és que en el futur hi hagi una necessitat de "gegants" encara més grans, sobretot si una persona va més enllà del nostre sistema solar o inventa alguna cosa inimaginable al nivell actual de la nostra consciència.
