La rotació dels cossos és un dels tipus importants de moviment mecànic en tecnologia i natura. A diferència del moviment lineal, es descriu pel seu propi conjunt de característiques cinemàtiques. Un d'ells és l'acceleració angular. Caracteritzem aquest valor a l'article.
Moviment de rotació
Abans de parlar d'acceleració angular, anem a descriure el tipus de moviment al qual s'aplica. Estem parlant de la rotació, que és el moviment dels cossos per camins circulars. Perquè es produeixi la rotació, s'han de complir determinades condicions:
- presencia d'un eix o punt de rotació;
- la presència d'una força centrípeta que mantindria el cos en òrbita circular.
Exemples d'aquest tipus de moviment són diverses atraccions, com ara un carrusel. En enginyeria, la rotació es manifesta en el moviment de rodes i eixos. A la natura, l'exemple més cridaner d'aquest tipus de moviment és la rotació dels planetes al voltant del seu propi eix i al voltant del Sol. El paper de la força centrípeta en aquests exemples el juguen les forces d'interacció interatòmica en sòlids i la força gravitatòria.interacció.
Característiques cinemàtiques de la rotació
Aquestes característiques inclouen tres magnituds: acceleració angular, velocitat angular i angle de gir. Els denotarem amb els símbols grecs α, ω i θ, respectivament.
Com que el cos es mou en cercle, és convenient calcular l'angle θ, que girarà en un temps determinat. Aquest angle s'expressa en radians (rarament en graus). Com que el cercle té 2 × pi radians, podem escriure una equació que relacioni θ amb la longitud de l'arc L del gir:
L=θ × r
On r és el radi de gir. Aquesta fórmula és fàcil d'obtenir si recordeu l'expressió corresponent a la circumferència.
La velocitat angular ω, com la seva contrapart lineal, descriu la velocitat de rotació al voltant de l'eix, és a dir, es determina segons la següent expressió:
ω¯=d θ / d t
La quantitat ω¯ és un valor vectorial. Es dirigeix al llarg de l'eix de rotació. La seva unitat són radians per segon (rad/s).
Finalment, l'acceleració angular és una característica física que determina la taxa de canvi en el valor de ω¯, que s'escriu matemàticament de la següent manera:
α¯=d ω¯/ d t
El vector α¯ està dirigit a canviar el vector velocitat ω¯. A més es dirà que l'acceleració angular es dirigeix cap al vector del moment de força. Aquest valor es mesura en radians.segon quadrat (rad/s2).
Moment de força i acceleració
Si recordem la llei de Newton, que connecta la força i l'acceleració lineal en una única igu altat, aleshores, transferint aquesta llei al cas de la rotació, podem escriure la següent expressió:
M¯=I × α¯
Aquí M¯ és el moment de la força, que és el producte de la força que tendeix a girar el sistema per la palanca: la distància des del punt d'aplicació de la força fins a l'eix. El valor I és anàleg a la massa del cos i s'anomena moment d'inèrcia. La fórmula escrita s'anomena equació de moments. A partir d'això, l'acceleració angular es pot calcular de la següent manera:
α¯=M¯/ I
Com que I és un escalar, α¯ sempre es dirigeix cap al moment d'actuació de la força M¯. La direcció de M¯ ve determinada per la regla de la mà dreta o per la regla del gimlet. Els vectors M¯ i α¯ són perpendiculars al pla de rotació. Com més gran sigui el moment d'inèrcia del cos, menor serà el valor de l'acceleració angular que el moment fix M¯ pot impartir al sistema.
Equacions cinemàtiques
Per entendre el paper important que juga l'acceleració angular en la descripció del moviment de rotació, anotem les fórmules que connecten les magnituds cinemàtiques estudiades anteriorment.
En el cas de rotació uniformement accelerada, són vàlides les relacions matemàtiques següents:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
La primera fórmula mostra que l'angularla velocitat augmentarà amb el temps segons una llei lineal. La segona expressió permet calcular l'angle amb el qual girarà el cos en un temps conegut t. La gràfica de la funció θ(t) és una paràbola. En ambdós casos, l'acceleració angular és constant.
Si utilitzem la fórmula de relació entre L i θ donada al principi de l'article, podem obtenir una expressió per a α en termes d'acceleració lineal a:
α=a / r
Si α és constant, a mesura que augmenta la distància de l'eix de rotació r, l'acceleració lineal a augmentarà proporcionalment. És per això que les característiques angulars s'utilitzen per a la rotació, a diferència de les lineals, no canvien amb l'augment o la disminució de r.
Problema d'exemple
L'eix metàl·lic, que girava a una freqüència de 2.000 revolucions per segon, va començar a frenar i es va aturar completament al cap d'1 minut. Cal calcular amb quina acceleració angular es va produir el procés de desacceleració de l'eix. També hauríeu de calcular el nombre de revolucions que ha fet l'eix abans d'aturar-se.
El procés de desacceleració de la rotació es descriu amb l'expressió següent:
ω=ω0- α × t
La velocitat angular inicial ω0 es determina a partir de la freqüència de rotació f de la següent manera:
ω0=2 × pi × f
Com que coneixem el temps de desacceleració, obtenim el valor d'acceleració α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Aquest número s'ha de prendre amb un signe menys,perquè estem parlant d'alentir el sistema, no d'accelerar-lo.
Per determinar el nombre de revolucions que farà l'eix durant la frenada, apliqueu l'expressió:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376.806 rad.
El valor obtingut de l'angle de rotació θ en radians es converteix simplement en el nombre de revolucions que fa l'eix abans que s'aturi completament mitjançant una divisió simple per 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60.001 voltes.
Així, hem obtingut totes les respostes a les preguntes del problema: α=-209, 33 rad/s2, n=60.001 revolucions.
