La derivada del cosinus es troba per analogia amb la derivada del sinus, la base de la demostració és la definició del límit de la funció. Podeu utilitzar un altre mètode, utilitzant les fórmules de reducció trigonomètriques per al cosinus i el sinus dels angles. Expressa una funció en termes d'una altra: cosinus en termes de sinus, i diferencia el sinus amb un argument complex.
Considereu el primer exemple de derivació de la fórmula (Cos(x))'
Doneu un increment Δx insignificant a l'argument x de la funció y=Cos(x). Amb un nou valor de l'argument х+Δх, obtenim un nou valor de la funció Cos(х+Δх). Aleshores, l'increment de la funció Δy serà igual a Cos(х+Δx)-Cos(x).
La proporció de l'increment de la funció a Δх serà: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Realitzem transformacions idèntiques en el numerador de la fracció resultant. Recordeu la fórmula de la diferència en els coseus dels angles, el resultat serà el producte -2Sin (Δx / 2) per Sin (x + Δx / 2). Trobem el límit del quocient límit d'aquest producte sobre Δx ja que Δx tendeix a zero. Se sap que el primer(s'anomena meravellós) el límit lím(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) és igual a 1, i el límit -Sin(x+Δx/2) és igual a -Sin(x) com Δx tendeix a zero. Anoteu el resultat: la derivada de (Cos(x))' és igual a - Sin(x).
Algunes persones prefereixen la segona manera de derivar la mateixa fórmula
Es coneix pel curs de la trigonometria: Cos(x) és igual a Sin(0, 5 ∏-x), de la mateixa manera Sin(x) és igual a Cos(0, 5 ∏-x). Aleshores diferenciem una funció complexa: el sinus de l'angle addicional (en lloc del cosinus x).
Aconseguim el producte Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', perquè la derivada del sinus x és igual al cosinus X. Passem a la segona fórmula Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) de substitució del cosinus per sinus, tenint en compte que (0,5 ∏-x)'=-1. Ara obtenim -Sin(x). Per tant, es troba la derivada del cosinus, y'=-Sin(x) per a la funció y=Cos(x).
Derivada del cosinus quadrat
Un exemple d'ús habitual on s'utilitza la derivada del cosinus. La funció y=Cos2(x) és difícil. Primer trobem el diferencial de la funció de potència amb exponent 2, serà 2·Cos(x), després el multipliquem per la derivada (Cos(x))', que és igual a -Sin(x). Obtenim y'=-2 Cos(x) Sin(x). Quan apliquem la fórmula Sin(2x), el sinus d'un angle doble, obtenim la final simplificadaresposta y'=-Sin(2x)
Funcions hiperbòliques
S'utilitzen en l'estudi de moltes disciplines tècniques: en matemàtiques, per exemple, faciliten el càlcul d'integrals, la solució d'equacions diferencials. S'expressen en termes de funcions trigonomètriques amb imaginàriesargument, de manera que el cosinus hiperbòlic ch(x)=Cos(i x), on i és la unitat imaginària, el sinus hiperbòlic sh(x)=Sin(i x).
La derivada del cosinus hiperbòlic es calcula de manera senzilla.
Considereu la funció y=(ex+e-x) /2, aquest i és el cosinus hiperbòlic ch(x). Utilitzem la regla per trobar la derivada de la suma de dues expressions, la regla per treure el factor constant (Const) del signe de la derivada. El segon terme 0,5 e-x és una funció complexa (la seva derivada és -0,5 e-x), 0,5 eх - el primer terme. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' es pot escriure d'una altra manera: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, perquè la derivada (e - x)' és igual a -1 vegades e-x. El resultat és una diferència, i aquest és el sinus hiperbòlic sh(x).Sortida: (ch(x))'=sh(x).
Mirem un exemple de com calculeu la derivada de la funció y=ch(x
3+1).Segons la regla de diferenciació del cosinus hiperbòlic amb argument complex y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', on (x3+1)'=3 x 2+0. Resposta: la derivada d'aquesta funció és 3 x
2sh(x3+1).
Derivades tabulars de les funcions considerades y=ch(x) i y=Cos(x)
En resoldre exemples, no cal diferenciar-los cada cop segons l'esquema proposat, n'hi ha prou amb fer servir la inferència.
Exemple. Diferencia la funció y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Fàcil de calcular (utilitza dades tabulars), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
