El volum és una característica de qualsevol figura que tingui dimensions diferents de zero a les tres dimensions de l'espai. En aquest article, des del punt de vista de l'estereometria (la geometria de les figures espacials), considerarem un prisma i mostrarem com trobar els volums de prismes de diversos tipus.
Què és un prisma?
Stereometry té la resposta exacta a aquesta pregunta. S'entén per prisma una figura formada per dues cares poligonals idèntiques i diversos paral·lelograms. La imatge següent mostra quatre prismes diferents.
Cadascun d'ells es pot obtenir de la següent manera: cal agafar un polígon (triangle, quadrilàter, etc.) i un segment d'una determinada longitud. Aleshores, cada vèrtex del polígon s'ha de transferir mitjançant segments paral·lels a un altre pla. En el nou pla, que serà paral·lel a l'original, s'obtindrà un nou polígon, semblant a l'escollit inicialment.
Els prismes poden ser de diferents tipus. Per tant, poden ser rectes, oblics i correctes. Si la vora lateral del prisma (segment,connectant els vèrtexs de les bases) perpendiculars a les bases de la figura, llavors aquesta última és una línia recta. En conseqüència, si aquesta condició no es compleix, estem parlant d'un prisma inclinat. Una figura regular és un prisma recte amb una base equiangular i equilàter.
Més endavant en l'article mostrarem com calcular el volum de cadascun d'aquests tipus de prismes.
Volum de prismes regulars
Comencem pel cas més senzill. Donem la fórmula del volum d'un prisma regular amb una base n-gonal. La fórmula de volum V per a qualsevol figura de la classe considerada és la següent:
V=Soh.
É a dir, per determinar el volum, n'hi ha prou de calcular l'àrea d'una de les bases So i multiplicar-la per l'alçada h de la xifra.
En el cas d'un prisma regular, anotem la longitud del costat de la seva base amb la lletra a, i l'alçada, que és igual a la longitud de la vora lateral, amb la lletra h. Si la base de l'n-gon és correcta, aleshores la manera més fàcil de calcular la seva àrea és utilitzar la fórmula universal següent:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Substituint el valor del nombre de costats n i la longitud d'un costat a per la igu altat, podeu calcular l'àrea de la base n-gonal. Tingueu en compte que la funció cotangent aquí es calcula per a l'angle pi/n, que s'expressa en radians.
Donada la igu altat escrita per a S, obtenim la fórmula final per al volum d'un prisma regular:
V=n/4a2hctg(pi/n).
Per a cada cas concret, podeu escriure les fórmules corresponents per a V, però totessegueixen únicament de l'expressió general escrita. Per exemple, per a un prisma quadrangular regular, que en el cas general és un paral·lelepípede rectangular, obtenim:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
Si prenem h=a en aquesta expressió, obtenim la fórmula per al volum del cub.
Volum de prismes directes
Notem de seguida que per a figures rectes no hi ha una fórmula general per calcular el volum, que es va donar més amunt per als prismes regulars. En trobar el valor en qüestió, s'ha d'utilitzar l'expressió original:
V=Soh.
Aquí h és la longitud de la vora lateral, com en el cas anterior. Pel que fa a l'àrea base So, pot prendre diversos valors. La tasca de calcular un prisma recte de volum es redueix a trobar l'àrea de la seva base.
El càlcul del valor de So s'ha de fer en funció de les característiques de la pròpia base. Per exemple, si és un triangle, l'àrea es pot calcular així:
So3=1/2aha.
Aquí ha és l'apotema del triangle, és a dir, la seva alçada baixa fins a la base a.
Si la base és un quadrilàter, pot ser un trapezi, un paral·lelogram, un rectangle o un tipus completament arbitrari. En tots aquests casos, cal utilitzar la fórmula de planimetria adequada per determinar l'àrea. Per exemple, per a un trapezi, aquesta fórmula sembla:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
On ha és l'alçada del trapezi, a1 i a2 són les longituds dels seus costats paral·lels.
Per determinar l'àrea dels polígons d'ordre superior, hauríeu de dividir-los en formes simples (triangles, quadrangles) i calcular la suma de les àrees d'aquests últims.
Volum del prisma inclinat
Aquest és el cas més difícil de calcular el volum d'un prisma. La fórmula general per a aquestes xifres també s'aplica:
V=Soh.
No obstant això, a la complexitat de trobar l'àrea de la base que representa un tipus arbitrari de polígon, s'afegeix el problema de determinar l'alçada de la figura. Sempre és inferior a la longitud de la vora lateral en un prisma inclinat.
La manera més senzilla de trobar aquesta alçada és si coneixeu algun angle de la figura (pla o diedre). Si es dóna aquest angle, s'hauria d'utilitzar per construir un triangle rectangle dins del prisma, que contindria l'alçada h com un dels costats i, utilitzant funcions trigonomètriques i el teorema de Pitàgores, trobar el valor h.
Problema de volum geomètric
Donat un prisma regular de base triangular, amb una alçada de 14 cm i una longitud lateral de 5 cm. Quin és el volum del prisma triangular?
Com que estem parlant de la xifra correcta, tenim dret a utilitzar la fórmula coneguda. Tenim:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 cm3.
Un prisma triangular és una figura força simètrica, en la forma de la qual sovint es fan diverses estructures arquitectòniques. Aquest prisma de vidre s'utilitza en òptica.
