Quan s'estudia estereometria, un dels temes principals és "Cilindro". L'àrea de superfície lateral es considera, si no la principal, una fórmula important per resoldre problemes geomètrics. Tanmateix, és important recordar les definicions que us ajudaran a navegar per exemples i quan demostreu diversos teoremes.
Concepte de cilindre
Primer hem de considerar algunes definicions. Només després d'estudiar-los, es pot començar a considerar la qüestió de la fórmula per a l'àrea de la superfície lateral d'un cilindre. A partir d'aquesta entrada, es poden calcular altres expressions.
- Una superfície cilíndrica s'entén com un pla descrit per una generatriu, que es mou i roman paral·lel a una direcció determinada, lliscant al llarg d'una corba existent.
- També hi ha una segona definició: una superfície cilíndrica està formada per un conjunt de línies paral·leles que tallen una corba determinada.
- El generatiu s'anomena convencionalment l'alçada del cilindre. Quan es mou al voltant d'un eix que passa pel centre de la base,s'obté el cos geomètric designat.
- Sota l'eix s'entén una línia recta que passa per les dues bases de la figura.
- Un cilindre és un cos estereomètric limitat per una superfície lateral que s'interseca i 2 plans paral·lels.
Hi ha varietats d'aquesta figura tridimensional:
- Circular és un cilindre la guia del qual és un cercle. Els seus components principals són el radi de la base i la generatriu. Aquest últim és igual a l'alçada de la figura.
- Hi ha un cilindre recte. Va rebre el seu nom a causa de la perpendicularitat de la generatriu a les bases de la figura.
- El tercer tipus és un cilindre bisellat. Als llibres de text, també podeu trobar-hi un altre nom: "cilindre circular amb una base bisellada". Aquesta xifra defineix el radi de la base, les altures mínimes i màximes.
- Un cilindre equilàter s'entén com un cos que té la mateixa alçada i diàmetre d'un pla circular.
Símbols
Tradicionalment, els "components" principals d'un cilindre s'anomenen de la següent manera:
- El radi de la base és R (també substitueix el mateix valor d'una figura estereomètrica).
- Generatiu – L.
- Alçada – H.
- Àrea base - Sbase(és a dir, heu de trobar el paràmetre de cercle especificat).
- Alçades del cilindre bisellat – h1, h2(mínim i màxim).
- Àrea de la superfície lateral - Sside (si l'amplieu, obtindreuuna mena de rectangle).
- El volum d'una figura estereomètrica - V.
- Superfície total – S.
"Components" d'una figura estereomètrica
Quan s'estudia un cilindre, la superfície lateral juga un paper important. Això es deu al fet que aquesta fórmula s'inclou en diverses altres més complexes. Per tant, cal estar ben versat en teoria.
Els components principals de la figura són:
- Superfície lateral. Com sabeu, s'obté a causa del moviment de la generatriu al llarg d'una corba determinada.
- La superfície completa inclou bases existents i pla lateral.
- La secció d'un cilindre, per regla general, és un rectangle situat paral·lel a l'eix de la figura. En cas contrari, s'anomena avió. Resulta que la longitud i l'amplada són components a temps parcial d' altres figures. Per tant, condicionalment, les longituds de la secció són generadores. Amplada: cordes paral·leles d'una figura estereomètrica.
- La secció axial significa la ubicació del pla pel centre del cos.
- I, finalment, la definició final. Una tangent és un pla que passa per la generatriu del cilindre i forma angles rectes amb la secció axial. En aquest cas, s'ha de complir una condició. La generatriu especificada s'ha d'incloure en el pla de la secció axial.
Fórmules bàsiques per treballar amb un cilindre
Per respondre a la pregunta de com trobar l'àrea superficial d'un cilindre, cal estudiar els principals "components" d'una figura estereomètrica i les fórmules per trobar-los.
Aquestes fórmules es diferencien perquè primer es donen les expressions per al cilindre bisellat i després per al recte.
Exemples deconstruïts
Tasca 1.
Cal conèixer l'àrea de la superfície lateral del cilindre. Es dóna la diagonal de la secció AC=8 cm (a més, és axial). En contacte amb la generatriu, resulta que <ACD=30°
Decisió. Com que es coneixen els valors de la diagonal i de l'angle, en aquest cas:
CD=ACcos 30°
Comenta. El triangle ACD, en aquest exemple particular, és un triangle rectangle. Això vol dir que el quocient de dividir CD i AC=el cosinus de l'angle donat. El valor de les funcions trigonomètriques es pot trobar en una taula especial.
De la mateixa manera, podeu trobar el valor d'AD:
AD=ACsin 30°
Ara cal calcular el resultat desitjat amb la següent formulació: l'àrea de la superfície lateral del cilindre és igual al doble del resultat de multiplicar "pi", el radi de la figura i la seva alçada. També s'ha d'utilitzar una altra fórmula: l'àrea de la base del cilindre. És igual al resultat de multiplicar "pi" pel quadrat del radi. I finalment, l'última fórmula: superfície total. És igual a la suma de les dues àrees anteriors.
Tasca 2.
Es donen Cilindres. El seu volum=128n cm³. Quin cilindre té el més petitsuperfície completa?
Decisió. Primer heu d'utilitzar les fórmules per trobar el volum d'una figura i la seva alçada.
Com que la superfície total d'un cilindre es coneix per teoria, s'ha d'aplicar la seva fórmula.
Si considerem la fórmula resultant en funció de l'àrea del cilindre, s'aconseguirà l'"indicador" mínim al punt extrem. Per obtenir l'últim valor, heu d'utilitzar la diferenciació.
Les fórmules es poden veure en una taula especial per trobar derivats. En el futur, el resultat trobat s'equipara a zero i es troba la solució de l'equació.
Resposta: Smin s'aconseguirà a h=1/32 cm, R=64 cm.
Problema 3.
Donada una figura estereomètrica: un cilindre i una secció. Aquest últim es realitza de manera que estigui situat paral·lel a l'eix del cos estereomètric. El cilindre té els paràmetres següents: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm Cal trobar la distància entre la secció i l'eix.
Decisió.
Com que la secció transversal d'un cilindre s'entén que és VSCM, és a dir, un rectangle, el seu costat VM=h. Cal tenir en compte el WMC. El triangle és rectangular. A partir d'aquesta afirmació, podem deduir la suposició correcta que MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
A partir d'aquí podem concloure que MK=BC=8 cm.
El següent pas és dibuixar una secció a través de la base de la figura. Cal tenir en compte el pla resultant.
AD: diàmetre d'una figura estereomètrica. És paral·lel a la secció esmentada a l'enunciat del problema.
BC és una línia recta situada al pla del rectangle existent.
ABCD és un trapezi. En un cas particular, es considera isòsceles, ja que al seu voltant es descriu un cercle.
Si trobeu l'alçada del trapezi resultant, podeu obtenir la resposta que es dóna al principi del problema. És a dir: trobar la distància entre l'eix i la secció dibuixada.
Per fer-ho, heu de trobar els valors d'AD i OS.
Resposta: la secció es troba a 3 cm de l'eix.
Problemes per consolidar el material
Exemple 1.
Cilindre donat. La superfície lateral s'utilitza en la solució posterior. Es coneixen altres opcions. L'àrea de la base és Q, l'àrea de la secció axial és M. Cal trobar S. En altres paraules, l'àrea total del cilindre.
Exemple 2.
Cilindre donat. La superfície lateral s'ha de trobar en un dels passos de resolució del problema. Se sap que alçada=4 cm, radi=2 cm Cal trobar l'àrea total d'una figura estereomètrica.
