Les figures geomètriques a l'espai són objecte d'estudi de l'estereometria, el curs de la qual és aprovat pels escolars de secundària. Aquest article està dedicat a un poliedre tan perfecte com un prisma. Considerem amb més detall les propietats d'un prisma i donem les fórmules que serveixen per descriure-les quantitativament.
Què és un prisma?
Tothom s'imagina com és una caixa o un cub. Les dues figures són prismes. Tanmateix, la classe de prismes és molt més diversa. En geometria, aquesta figura rep la següent definició: un prisma és qualsevol políedre de l'espai, que està format per dos costats poligonals paral·lels i idèntics i diversos paral·lelograms. Les cares paral·leles idèntiques d'una figura s'anomenen bases (superior i inferior). Els paral·lelograms són les cares laterals de la figura, que connecten els costats de la base entre si.
Si la base es representa amb un n-gon, on n és un nombre enter, aleshores la figura constarà de 2+n cares, 2n vèrtexs i 3n arestes. Es refereixen cares i voresun de dos tipus: o pertanyen a la superfície lateral, o bé a les bases. Pel que fa als vèrtexs, tots són iguals i pertanyen a les bases del prisma.
Tipus de figures de la classe en estudi
Estudiant les propietats d'un prisma, hauríeu d'enumerar els tipus possibles d'aquesta figura:
- Convex i còncava. La diferència entre ells rau en la forma de la base poligonal. Si és còncava, també serà una figura tridimensional i viceversa.
- Recte i oblic. Per a un prisma recte, les cares laterals són rectangles o quadrats. En una figura obliqua, les cares laterals són paral·lelograms de tipus general o rombes.
- Incorrecte i correcta. Perquè la figura a estudiar sigui correcta, ha de ser recta i tenir la base correcta. Un exemple d'aquests últims són les figures planes com un triangle equilàter o un quadrat.
El nom del prisma es forma tenint en compte la classificació enumerada. Per exemple, el paral·lelepípede o el cub recte esmentat anteriorment s'anomena prisma quadrangular regular. Els prismes regulars, per la seva alta simetria, són convenients per estudiar. Les seves propietats s'expressen en forma de fórmules matemàtiques específiques.
Àrea del prisma
Quan es consideren aquesta propietat d'un prisma com la seva àrea, es refereixen a l'àrea total de totes les seves cares. És més fàcil imaginar aquest valor si desplegueu la figura, és a dir, expandiu totes les cares en un sol pla. A continuacióLa figura mostra un exemple d'un escombrat de dos prismes.
Per a un prisma arbitrari, la fórmula de l'àrea del seu escombrat en forma general es pot escriure de la següent manera:
S=2So+ bPsr.
Expliquem la notació. El valor So és l'àrea d'una base, b és la longitud de la vora lateral, Psr és el perímetre tallat, que és perpendicular als paral·lelograms laterals de la figura.
La fórmula escrita s'utilitza sovint per determinar les àrees dels prismes inclinats. En el cas d'un prisma regular, l'expressió de S adoptarà una forma específica:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
El primer terme de l'expressió representa l'àrea de les dues bases d'un prisma regular, el segon terme és l'àrea dels rectangles laterals. Aquí a és la longitud del costat d'un n-gon regular. Tingueu en compte que la longitud de la vora lateral b d'un prisma regular també és la seva alçada h, de manera que a la fórmula b es pot substituir per h.
Com calcular el volum d'una figura?
El prisma és un poliedre relativament simple amb una gran simetria. Per tant, per determinar el seu volum, hi ha una fórmula molt senzilla. Sembla així:
V=Soh.
Calcular l'àrea de la base i l'alçada pot ser complicat quan es mira una forma irregular obliqua. Aquest problema es resol mitjançant l'anàlisi geomètrica seqüencial que inclou informació sobre els angles díedres entre els paral·lelograms laterals i la base.
Si el prisma és correcte, aleshoresla fórmula de V es fa força concreta:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Com podeu veure, l'àrea S i el volum V d'un prisma regular es determinen de manera única si es coneixen dos dels seus paràmetres lineals.
Prisma regular triangular
Acabem l'article considerant les propietats d'un prisma triangular regular. Està format per cinc cares, tres de les quals són rectangles (quadrats), i dues són triangles equilàters. Un prisma té sis vèrtexs i nou arestes. Per a aquest prisma, les fórmules de volum i superfície s'escriuen a continuació:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
A més d'aquestes propietats, també és útil donar una fórmula per a l'apotema de la base de la figura, que és l'alçada ha d'un triangle equilàter:
ha=√3/2a.
Els costats del prisma són rectangles idèntics. Les longituds de les seves diagonals d són:
d=√(a2+ h2).
El coneixement de les propietats geomètriques d'un prisma triangular té un interès no només teòric sinó també pràctic. El cas és que aquesta figura, feta de vidre òptic, serveix per estudiar l'espectre de radiació dels cossos.
En passar a través d'un prisma de vidre, la llum es descomposa en una sèrie de colors com a resultat del fenomen de dispersió, que crea les condicions per estudiar la composició espectral d'un flux electromagnètic.
