A l'institut, després d'estudiar les propietats de les figures en el pla, passen a la consideració d'objectes geomètrics espacials com prismes, esferes, piràmides, cilindres i cons. En aquest article, donarem la descripció més completa d'un prisma triangular recte.
Què és un prisma triangular?
Comencem l'article amb la definició de la figura, que es comentarà més endavant. Un prisma des del punt de vista de la geometria és una figura a l'espai formada per dos n-gons idèntics situats en plans paral·lels, els mateixos angles dels quals estan connectats per segments rectes. Aquests segments s'anomenen costelles laterals. Juntament amb els costats de la base, formen una superfície lateral, que generalment es representa amb paral·lelograms.
Dos n-gons són les bases de la figura. Si les vores laterals són perpendiculars a elles, parlen d'un prisma recte. En conseqüència, si el nombre de costats n del polígon a les bases és tres, llavors aquesta figura s'anomena prisma triangular.
El prisma recte triangular es mostra a d alt a la figura. Aquesta figura també s'anomena regular, ja que les seves bases són triangles equilàters. La longitud de la vora lateral de la figura, indicada per la lletra h a la figura, s'anomena alçada.
La figura mostra que un prisma de base triangular està format per cinc cares, dues de les quals són triangles equilàters i tres són rectangles idèntics. A més de les cares, el prisma té sis vèrtexs a les bases i nou arestes. Els nombres d'elements considerats estan relacionats entre si pel teorema d'Euler:
nombre d'arestes=nombre de vèrtexs + nombre de costats - 2.
Àrea d'un prisma triangular recte
A d alt hem descobert que la figura en qüestió està formada per cinc cares de dos tipus (dos triangles, tres rectangles). Totes aquestes cares formen tota la superfície del prisma. La seva àrea total és l'àrea de la figura. A continuació es mostra un prisma triangular desplegat, que es pot obtenir tallant primer dues bases de la figura i després tallant al llarg d'una vora i desplegant la superfície lateral.
Donem fórmules per determinar la superfície d'aquest escombrat. Comencem per les bases d'un prisma triangular recte. Com que representen triangles, l'àrea S3 de cadascun d'ells es pot trobar de la següent manera:
S3=1/2aha.
Aquí a és el costat del triangle, ha és l'alçada baixada des del vèrtex del triangle fins a aquest costat.
Si el triangle és equilàter (regular), la fórmula per a S3 només depèn d'un paràmetre a. Sembla:
S3=√3/4a2.
Aquesta expressió es pot obtenir considerant un triangle rectangle format per segments a, a/2, ha.
L'àrea de les bases So per a una xifra normal és el doble del valor de S3:
So=2S3=√3/2a2.
Pel que fa a la superfície lateral Sb, no és difícil calcular-la. Per fer-ho, n'hi ha prou de multiplicar per tres l'àrea del rectangle ossi format pels costats a i h. La fórmula corresponent és:
Sb=3ah.
Així, l'àrea d'un prisma regular amb una base triangular es troba mitjançant la fórmula següent:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
Si el prisma és recte però irregular, per calcular la seva àrea, hauríeu de sumar per separat les àrees dels rectangles que no són iguals entre si.
Determinació del volum d'una figura
El volum d'un prisma s'entén com l'espai limitat pels seus costats (cares). Calcular el volum d'un prisma triangular recte és molt més fàcil que calcular la seva superfície. Per fer-ho, n'hi ha prou de conèixer l'àrea de la base i l'alçada de la figura. Com que l'alçada h d'una figura recta és la longitud de la seva vora lateral, i com calcular l'àrea base, hem donat a l'anteriorpunt, llavors queda multiplicar aquests dos valors entre si per obtenir el volum desitjat. La fórmula es converteix en:
V=S3h.
Tingueu en compte que el producte de l'àrea d'una base i l'alçada donarà el volum no només d'un prisma recte, sinó també d'una figura obliqua i fins i tot d'un cilindre.
Resolució de problemes
Els prismes triangulars de vidre s'utilitzen en òptica per estudiar l'espectre de la radiació electromagnètica a causa del fenomen de la dispersió. Se sap que un prisma de vidre normal té una longitud lateral de base de 10 cm i una longitud de vora de 15 cm. Quina és l'àrea de les seves cares de vidre i quin volum conté?
Per determinar l'àrea, utilitzarem la fórmula escrita a l'article. Tenim:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536,6 cm2.
Per determinar el volum V, també fem servir la fórmula anterior:
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649,5 cm3.
Malgrat que les vores del prisma fan 10 cm i 15 cm de llarg, el volum de la figura només és de 0,65 litres (un cub amb un costat de 10 cm té un volum d'1 litre).
