La capacitat de determinar el volum de figures espacials és important per resoldre problemes geomètrics i pràctics. Una d'aquestes figures és un prisma. Considerarem a l'article què és i mostrarem com calcular el volum d'un prisma inclinat.
Què s'entén per prisma en geometria?
Aquest és un poliedre regular (poliedre), que està format per dues bases idèntiques situades en plans paral·lels, i diversos paral·lelograms que connecten les bases marcades.
Les bases del prisma poden ser polígons arbitraris, com ara triangle, quadrilàter, heptàgon, etc. A més, el nombre de cantonades (costats) del polígon determina el nom de la figura.
Qualsevol prisma amb una base n-gon (n és el nombre de costats) consta de n+2 cares, 2 × n vèrtexs i 3 × n arestes. A partir dels nombres donats es pot veure que el nombre d'elements del prisma correspon al teorema d'Euler:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
La imatge següent mostra com són els prismes triangulars i quadrangulars fets de vidre.
Tipus de figures. Prisma inclinat
Ja s'ha dit més amunt que el nom d'un prisma ve determinat pel nombre de costats del polígon a la base. Tanmateix, hi ha altres característiques en la seva estructura que determinen les propietats de la figura. Per tant, si tots els paral·lelograms que formen la superfície lateral del prisma estan representats per rectangles o quadrats, llavors aquesta figura s'anomena línia recta. Per a un prisma recte, la distància entre les bases és igual a la longitud de la vora lateral de qualsevol rectangle.
Si alguns o tots els costats són paral·lelograms, estem parlant d'un prisma inclinat. La seva alçada ja serà inferior a la longitud de la costella lateral.
Un altre criteri pel qual es classifiquen les figures considerades són les longituds dels costats i els angles del polígon a la base. Si són iguals entre si, el polígon serà correcte. Una figura recta amb un polígon regular a les bases s'anomena regular. És convenient treballar-hi a l'hora de determinar la superfície i el volum. Un prisma inclinat en aquest sentit presenta algunes dificultats.
La figura següent mostra dos prismes amb una base quadrada. L'angle de 90° mostra la diferència fonamental entre un prisma recte i un oblic.
Fórmula per determinar el volum d'una figura
La part de l'espai delimitada per les cares d'un prisma s'anomena volum. Per a les xifres considerades de qualsevol tipus, aquest valor es pot determinar mitjançant la fórmula següent:
V=h × So
Aquí, el símbol h indica l'alçada del prisma,que és una mesura de la distància entre dues bases. Símbol So- un quadrat base.
La zona base és fàcil de trobar. Tenint en compte si el polígon és regular o no, i sabent el nombre dels seus costats, hauríeu d'aplicar la fórmula adequada i obtenir So. Per exemple, per a un n-gon regular amb la longitud del costat a, l'àrea serà:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi/n)
Ara passem a l'alçada h. Per a un prisma recte, determinar l'alçada no és difícil, però per a un prisma oblic, aquesta no és una tasca fàcil. Es pot resoldre mitjançant diversos mètodes geomètrics, partint de condicions inicials específiques. Tanmateix, hi ha una manera universal de determinar l'alçada d'una figura. Descrivim-ho breument.
La idea és trobar la distància d'un punt de l'espai a un pla. Suposem que el pla ve donat per l'equació:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Llavors l'avió estarà a distància:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Si els eixos de coordenades estan disposats de manera que el punt (0; 0; 0) es troba en el pla de la base inferior del prisma, l'equació per al pla de la base es pot escriure de la següent manera:
z=0
Això vol dir que s'escriurà la fórmula de l'alçadaper tant:
h=z1
N'hi ha prou amb trobar la coordenada z de qualsevol punt de la base superior per determinar l'alçada de la figura.
Exemple de resolució de problemes
La figura següent mostra un prisma quadrangular. La base d'un prisma inclinat és un quadrat amb un costat de 10 cm. Cal calcular el seu volum si se sap que la longitud de la vora lateral és de 15 cm i l'angle agut del paral·lelogram frontal és de 70 °.
Com que l'alçada h de la figura també és l'alçada del paral·lelogram, fem servir fórmules per determinar la seva àrea per trobar h. Denotem els costats del paral·lelogram de la següent manera:
a=10 cm;
b=15 cm
A continuació, podeu escriure les fórmules següents per determinar l'àrea Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
D'on obtenim:
h=b × sin (α)
Aquí α és un angle agut del paral·lelogram. Com que la base és un quadrat, la fórmula del volum d'un prisma inclinat tindrà la forma:
V=a2 × b × sin (α)
Sustituim les dades de la condició a la fórmula i obtenim la resposta: V ≈ 1410 cm3.
