Al curs escolar de geometria sòlida, una de les figures més senzilles que té dimensions diferents de zero al llarg de tres eixos espacials és un prisma quadrangular. Considereu a l'article quin tipus de figura és, de quins elements consta i també com podeu calcular la seva superfície i volum.
El concepte de prisma
En geometria, un prisma és una figura espacial, que està formada per dues bases i superfícies laterals idèntiques que connecten els costats d'aquestes bases. Observeu que ambdues bases es transformen l'una a l' altra mitjançant l'operació de translació paral·lela per algun vector. Aquesta assignació del prisma porta al fet que tots els seus costats són sempre paral·lelograms.
El nombre de costats de la base pot ser arbitrari, començant per tres. Quan aquest nombre tendeix a l'infinit, el prisma es converteix suaument en un cilindre, ja que la seva base es converteix en un cercle i els paral·lelograms laterals, connectats, formen una superfície cilíndrica.
Com qualsevol poliedre, un prisma es caracteritza percostats (plans que delimiten la figura), arestes (segments al llarg dels quals es tallen dos costats qualsevol) i vèrtexs (punts de trobada de tres costats, per a un prisma dos d'ells són laterals, i el tercer és la base). Les quantitats dels tres elements esmentats de la figura estan interconnectades per la següent expressió:
P=C + B - 2
Aquí P, C i B són el nombre d'arestes, costats i vèrtexs, respectivament. Aquesta expressió és la notació matemàtica del teorema d'Euler.
La imatge de d alt mostra dos prismes. A la base d'un d'ells (A) hi ha un hexàgon regular, i els costats laterals són perpendiculars a les bases. La figura B mostra un altre prisma. Els seus costats ja no són perpendiculars a les bases i la base és un pentàgon regular.
Què és un prisma quadrangular?
Com es desprèn de la descripció anterior, el tipus de prisma ve determinat principalment pel tipus de polígon que forma la base (ambdues bases són iguals, així que podem parlar d'una d'elles). Si aquest polígon és un paral·lelogram, obtenim un prisma quadrangular. Així, tots els costats d'aquest tipus de prisma són paral·lelograms. Un prisma quadrangular té el seu propi nom: un paral·lelepípede.
El nombre de costats d'un paral·lelepípede és sis, i cada costat té un paral·lel semblant. Com que les bases de la caixa són de dos costats, les quatre restants són laterals.
El nombre de vèrtexs del paral·lelepípede és vuit, cosa que és fàcil de veure si recordem que els vèrtexs del prisma es formen només als vèrtexs dels polígons de la base (4x2=8). Aplicant el teorema d'Euler, obtenim el nombre d'arestes:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
De les 12 costelles, només 4 es formen independentment pels costats. Els vuit restants es troben als plans de les bases de la figura.
Més endavant en l'article parlarem només dels prismes quadrangulars.
Tipus de paral·lelepípedes
El primer tipus de classificació són les característiques del paral·lelogram subjacent. Pot semblar així:
- regular, els angles no són iguals a 90o;
- rectangle;
- un quadrat és un quadrilàter regular.
El segon tipus de classificació és l'angle en què el costat creua la base. Aquí són possibles dos casos diferents:
- aquest angle no és recte, aleshores el prisma s'anomena oblic o oblic;
- l'angle és 90o, llavors aquest prisma és rectangular o simplement recte.
El tercer tipus de classificació està relacionada amb l'alçada del prisma. Si el prisma és rectangular i la base és un quadrat o un rectangle, llavors s'anomena cuboide. Si hi ha un quadrat a la base, el prisma és rectangular i la seva alçada és igual a la longitud del costat del quadrat, obtenim la coneguda figura del cub.
Superfície i àrea del prisma
El conjunt de tots els punts que es troben sobre dues bases d'un prisma(paral·lelograms) i als seus costats (quatre paral·lelograms) formen la superfície de la figura. L'àrea d'aquesta superfície es pot calcular calculant l'àrea de la base i aquest valor per a la superfície lateral. Aleshores, la seva suma donarà el valor desitjat. Matemàticament, això s'escriu de la següent manera:
S=2So+ Sb
Aquí So i Sb són l'àrea de la base i la superfície lateral, respectivament. El número 2 abans de So apareix perquè hi ha dues bases.
Tingueu en compte que la fórmula escrita és vàlida per a qualsevol prisma, i no només per a l'àrea d'un prisma quadrangular.
És útil recordar que l'àrea d'un paral·lelogram Sp es calcula amb la fórmula:
Sp=ah
On els símbols a i h denoten la longitud d'un dels seus costats i l'alçada dibuixada a aquest costat, respectivament.
L'àrea d'un prisma rectangular amb una base quadrada
En un prisma quadrangular regular, la base és un quadrat. Per a la definició, denotem el seu costat amb la lletra a. Per calcular l'àrea d'un prisma quadrangular regular, hauríeu de conèixer la seva alçada. Segons la definició d'aquesta magnitud, és igual a la longitud de la perpendicular caiguda d'una base a una altra, és a dir, igual a la distància entre elles. Denotem-ho amb la lletra h. Com que totes les cares laterals són perpendiculars a les bases del tipus de prisma considerat, l'alçada d'un prisma quadrangular regular serà igual a la longitud de la seva vora lateral.
BLa fórmula general de l'àrea superficial d'un prisma és de dos termes. L'àrea de la base en aquest cas és fàcil de calcular, és igual a:
So=a2
Per calcular l'àrea de la superfície lateral, argumentem de la següent manera: aquesta superfície està formada per 4 rectangles idèntics. A més, els costats de cadascun d'ells són iguals a a i h. Això vol dir que l'àrea de Sb serà igual a:
Sb=4ah
Tingueu en compte que el producte 4a és el perímetre de la base quadrada. Si generalitzem aquesta expressió al cas d'una base arbitrària, aleshores per a un prisma rectangular la superfície lateral es pot calcular de la següent manera:
Sb=Poh
On Po és el perímetre de la base.
Tornant al problema de calcular l'àrea d'un prisma quadrangular regular, podem escriure la fórmula final:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Àrea d'un paral·lelepípede oblic
Calcular-lo és una mica més difícil que per a un rectangular. En aquest cas, l'àrea base d'un prisma quadrangular es calcula amb la mateixa fórmula que per a un paral·lelogram. Els canvis es refereixen a la manera com es determina la superfície lateral.
Per fer-ho, utilitzeu la mateixa fórmula pel perímetre que es mostra al paràgraf anterior. Només ara tindrà multiplicadors lleugerament diferents. La fórmula general per a Sb en el cas d'un prisma oblic és:
Sb=Psrc
Aquí c és la longitud de la vora lateral de la figura. El valor Psr és el perímetre de la llesca rectangular. Aquest entorn es construeix de la següent manera: cal tallar totes les cares laterals amb un pla perquè sigui perpendicular a totes. El rectangle resultant serà el tall desitjat.
La figura de d alt mostra un exemple de caixa obliqua. La seva secció creuada forma angle recte amb els costats. El perímetre de la secció és Psr. Està format per quatre altures de paral·lelograms laterals. Per a aquest prisma quadrangular, l'àrea de la superfície lateral es calcula mitjançant la fórmula anterior.
La longitud de la diagonal d'un cuboide
La diagonal d'un paral·lelepípede és un segment que uneix dos vèrtexs que no tenen costats comuns que els formen. Només hi ha quatre diagonals en qualsevol prisma quadrangular. Per a un cuboide amb un rectangle a la base, les longituds de totes les diagonals són iguals entre si.
La figura següent mostra la figura corresponent. El segment vermell és la seva diagonal.
Calcular la seva longitud és molt senzill, si recordeu el teorema de Pitàgores. Cada alumne pot obtenir la fórmula desitjada. Té la forma següent:
D=√(A2+ B2 + C2)
Aquí D és la longitud de la diagonal. La resta de caràcters són les longituds dels costats de la caixa.
Moltes persones confonen la diagonal d'un paral·lelepípede amb les diagonals dels seus costats. A continuació hi ha una imatge on el colorels segments representen les diagonals dels costats de la figura.
La longitud de cadascun d'ells també està determinada pel teorema de Pitàgores i és igual a l'arrel quadrada de la suma dels quadrats de les longituds dels costats corresponents.
Volum del prisma
A més de l'àrea d'un prisma quadrangular regular o d' altres tipus de prismes, per resoldre alguns problemes geomètrics, també s'ha de conèixer el seu volum. Aquest valor per a qualsevol prisma es calcula amb la fórmula següent:
V=Soh
Si el prisma és rectangular, n'hi ha prou amb calcular l'àrea de la seva base i multiplicar-la per la longitud de la vora del costat per obtenir el volum de la figura.
Si el prisma és un prisma quadrangular regular, el seu volum serà:
V=a2h.
És fàcil veure que aquesta fórmula es converteix en una expressió per al volum d'un cub si la longitud de la vora lateral h és igual al costat de la base a.
Problema amb un cuboide
Per consolidar el material estudiat, resoldrem el següent problema: hi ha un paral·lelepípede rectangular els costats del qual fan 3 cm, 4 cm i 5 cm, cal calcular la seva superfície, longitud diagonal i volum.
Per a la definició, suposarem que la base de la figura és un rectangle amb costats de 3 cm i 4 cm. Aleshores la seva àrea és de 12 cm2 i el període és de 14 cm. Utilitzant la fórmula per a l'àrea superficial del prisma, obtenim:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 cm2
Per determinar la longitud de la diagonal i el volum de la figura, podeu utilitzar directament les expressions anteriors:
D=√(32+42+52)=7. 071 cm;
V=345=60 cm3.
Problema amb un paral·lelepípede oblic
La figura següent mostra un prisma oblic. Els seus costats són iguals: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Heu de trobar la superfície d'aquesta figura.
Primer, determinem l'àrea de la base. La figura mostra que l'angle agut és 50o. Aleshores la seva àrea és:
So=ha=sin(50o)ba
Per determinar l'àrea de la superfície lateral, hauríeu de trobar el perímetre del rectangle ombrejat. Els costats d'aquest rectangle són asin(45o) i bsin(60o). Aleshores el perímetre d'aquest rectangle és:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
La superfície total d'aquesta caixa és:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Sustituim les dades de la condició del problema per les longituds dels costats de la figura, obtenim la resposta:
S=458, 5496 cm3
A partir de la solució d'aquest problema es pot veure que les funcions trigonomètriques s'utilitzen per determinar les àrees de figures obliqües.
