Prism és una figura geomètrica tridimensional bastant senzilla. No obstant això, alguns escolars tenen problemes per determinar les seves principals propietats, la causa de les quals, per regla general, s'associa a una terminologia utilitzada incorrectament. En aquest article, considerarem què són els prismes, com s'anomenen i també descriurem amb detall el prisma quadrangular correcte.
Prisma en geometria
L'estudi de figures tridimensionals és una tasca d'estereometria, una part important de la geometria espacial. En estereometria, s'entén com a tal figura un prisma, que es forma per la translació paral·lela d'un polígon pla arbitrari a una certa distància en l'espai. La translació paral·lela implica un moviment en què s'exclou completament la rotació al voltant d'un eix perpendicular al pla del polígon.
Com a resultat del mètode descrit per obtenir un prisma, es forma una figura, limitada per dospolígons de les mateixes dimensions, situats en plans paral·lels, i un cert nombre de paral·lelograms. El seu nombre coincideix amb el nombre de costats (vèrtexs) del polígon. Els polígons idèntics s'anomenen bases del prisma i la seva superfície és l'àrea de les bases. Els paral·lelograms que connecten dues bases formen una superfície lateral.
Elements prismàtics i teorema d'Euler
Com que la figura tridimensional considerada és un poliedre, és a dir, està formada per un conjunt de plans que s'intersequen, es caracteritza per un nombre determinat de vèrtexs, arestes i cares. Tots són elements d'un prisma.
A mitjans del segle XVIII, el matemàtic suís Leonhard Euler va establir una connexió entre el nombre d'elements bàsics d'un poliedre. Aquesta relació s'escriu amb la fórmula senzilla següent:
Nombre d'arestes=nombre de vèrtexs + nombre de cares - 2
Per a qualsevol prisma, aquesta igu altat és certa. Posem un exemple del seu ús. Suposem que hi ha un prisma quadrangular regular. A continuació es mostra a la foto.
Es pot veure que el nombre de vèrtexs és 8 (4 per cada base quadrangular). El nombre de costats o cares és 6 (2 bases i 4 rectangles laterals). Aleshores, el nombre d'arestes serà:
Nombre de costelles=8 + 6 - 2=12
Tots es poden comptar si et refereixes a la mateixa imatge. Vuit arestes es troben a les bases i quatre arestes són perpendiculars a aquestes bases.
Classificació completa de prismes
És important entendre aquesta classificació perquè no us confongueu més endavant en la terminologia i utilitzeu les fórmules correctes per calcular, per exemple, la superfície o el volum de les figures.
Per a qualsevol prisma de forma arbitrària, es poden distingir 4 trets que el caracteritzaran. Enumerem-los:
- En funció del nombre de cantonades del polígon a la base: triangular, pentagonal, octogonal, etc.
- Tipus de polígon. Pot ser correcte o incorrecte. Per exemple, un triangle rectangle és irregular, però un triangle equilàter és correcte.
- Segons el tipus de convexitat del polígon. Pot ser còncau o convex. Els prismes convexos són els més comuns.
- En els angles entre les bases i els paral·lelograms laterals. Si tots aquests angles són iguals a 90o, aleshores parlen d'un prisma recte, si no tots són correctes, llavors aquesta figura s'anomena obliqua.
De tots aquests punts, m'agradaria detenir-me en l'últim. Un prisma recte també s'anomena prisma rectangular. Això es deu al fet que per a això els paral·lelograms són rectangles en el cas general (en alguns casos poden ser quadrats).
Per exemple, la figura de d alt mostra una figura rectangular o rectangular còncava pentagonal.
Prisma quadrangular regular
La base d'aquest prisma és un quadrilàter regular, és a dir, un quadrat. La figura de d alt ja ha mostrat com és aquest prisma. A més dels dos quadrats que ellalímit superior i inferior, també inclou 4 rectangles.
Denotarem el costat de la base d'un prisma quadrangular regular amb la lletra a, la longitud de la seva vora lateral s'indicarà amb la lletra c. Aquesta longitud també és l'alçada de la figura. Llavors l'àrea de tota la superfície d'aquest prisma s'expressa amb la fórmula:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Aquí el primer terme reflecteix la contribució de les bases a l'àrea total, el segon terme és l'àrea de la superfície lateral.
Tenint en compte les designacions introduïdes per a les longituds dels costats, escrivim la fórmula per al volum de la figura en qüestió:
V=a2c
És a dir, el volum es calcula com el producte de l'àrea de la base quadrada i la longitud de la vora lateral.
Forma de cub
Tothom coneix aquesta figura tridimensional ideal, però poca gent pensava que es tracta d'un prisma quadrangular regular, el costat del qual és igual a la longitud del costat de la base quadrada, és a dir, c=a.
Per a un cub, les fórmules per a la superfície total i el volum tindran la forma:
S=6a2
V=a3
Com que un cub és un prisma format per 6 quadrats idèntics, qualsevol parell paral·lel d'ells es pot considerar una base.
Cube és una figura altament simètrica, que a la natura es realitza en forma de gelosies cristal·lines de molts materials metàl·lics i cristalls iònics. Per exemple, gelosies d'or, plata, coure i taulales sals són cúbics.
