Els problemes matemàtics s'utilitzen en moltes ciències. Aquests inclouen no només la física, la química, l'enginyeria i l'economia, sinó també la medicina, l'ecologia i altres disciplines. Un concepte important a dominar per trobar solucions a dilemes importants és la derivada d'una funció. El seu significat físic no és tan difícil d'explicar com pot semblar als no iniciats en l'essència de la qüestió. N'hi ha prou amb trobar exemples adequats d'això a la vida real i situacions quotidianes. De fet, qualsevol motorista s'enfronta a una tasca similar cada dia quan mira el velocímetre, determinant la velocitat del seu cotxe en un instant determinat d'un temps determinat. Després de tot, és en aquest paràmetre on rau l'essència del significat físic de la derivada.
Com trobar la velocitat
Determineu la velocitat d'una persona a la carretera, sabent la distància recorreguda i el temps de viatge, qualsevol alumne de cinquè pot fàcilment. Per fer-ho, el primer dels valors donats es divideix pel segon. Peròno tots els matemàtics joves saben que actualment està trobant la relació entre els increments d'una funció i un argument. De fet, si imaginem el moviment en forma de gràfic, traçant el camí al llarg de l'eix y i el temps al llarg de l'abscissa, serà exactament així.
No obstant això, la velocitat d'un vianant o qualsevol altre objecte que determinem en un gran tram del camí, tenint en compte que el moviment és uniforme, pot variar. Hi ha moltes formes de moviment en física. Es pot realitzar no només amb una acceleració constant, sinó que es desaccelera i augmenta de manera arbitrària. Cal tenir en compte que en aquest cas la línia que descriu el moviment deixarà de ser una línia recta. Gràficament, pot assumir les configuracions més complexes. Però per a qualsevol dels punts del gràfic, sempre podem dibuixar una tangent representada per una funció lineal.
Per aclarir el paràmetre de canvi de desplaçament en funció del temps, cal escurçar els segments mesurats. Quan esdevinguin infinitament petits, la velocitat calculada serà instantània. Aquesta experiència ens ajuda a definir la derivada. El seu significat físic també es desprèn lògicament d'aquest raonament.
En termes de geometria
Se sap que com més gran és la velocitat del cos, més inclinada és la gràfica de la dependència del desplaçament en el temps i, per tant, l'angle d'inclinació de la tangent a la gràfica en un punt determinat. Un indicador d'aquests canvis pot ser la tangent de l'angle entre l'eix x i la recta tangent. Només determina el valor de la derivada i es calcula mitjançant la relació de longitudsoposat al catet adjacent en un triangle rectangle format per una perpendicular caiguda des d'algun punt a l'eix x.
Aquest és el significat geomètric de la primera derivada. La física es revela en el fet que el valor de la cama oposada en el nostre cas és la distància recorreguda, i la contigua és el temps. La seva relació és la velocitat. I de nou arribem a la conclusió que la velocitat instantània, determinada quan ambdós buits tendeixen a ser infinitament petits, és l'essència del concepte de derivada, que indica el seu significat físic. La segona derivada d'aquest exemple serà l'acceleració del cos, que al seu torn demostra la taxa de canvi de velocitat.
Exemples de cerca de derivades en física
La derivada és un indicador de la taxa de canvi de qualsevol funció, fins i tot quan no estem parlant de moviment en el sentit literal de la paraula. Per demostrar-ho clarament, prenguem alguns exemples concrets. Suposem que la intensitat actual, depenent del temps, canvia d'acord amb la llei següent: I=0, 4t2. Cal trobar el valor de la velocitat a la qual canvia aquest paràmetre al final del 8è segon del procés. Tingueu en compte que el valor desitjat en si, com es pot jutjar a partir de l'equació, augmenta constantment.
Per resoldre'l, cal trobar la primera derivada, el significat físic de la qual s'ha considerat abans. Aquí dI / dt=0,8t. A continuació, el trobem a t \u003d 8, obtenim que la velocitat a la qual canvia la força actual és de 6,4 A / c. Aquí es considera queEl corrent es mesura en amperes i el temps, respectivament, en segons.
Tot canvia
El món visible que l'envolta, format per matèria, està experimentant canvis constants, i està en moviment de diversos processos que s'hi produeixen. Es poden utilitzar diversos paràmetres per descriure'ls. Si estan units per dependència, aleshores s'escriuen matemàticament com una funció que mostra clarament els seus canvis. I on hi ha moviment (en qualsevol forma que s'expressi), també existeix una derivada, el significat físic de la qual estem considerant en aquest moment.
En aquesta ocasió, el següent exemple. Suposem que la temperatura corporal canvia segons la llei T=0, 2 t 2. Hauríeu de trobar la velocitat del seu escalfament al final del 10è segon. El problema es resol d'una manera similar a la descrita en el cas anterior. És a dir, trobem la derivada i hi substituïm el valor de t \u003d 10, obtenim T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Això vol dir que la resposta final és de 4 graus per segon, és a dir, el procés d'escalfament. i el canvi de temperatura, mesurat en graus, es produeix precisament amb aquesta velocitat.
Resolució de problemes pràctics
Per descomptat, a la vida real tot és molt més complicat que en problemes teòrics. A la pràctica, el valor de les quantitats normalment es determina durant l'experiment. En aquest cas, s'utilitzen instruments que donen lectures durant les mesures amb un cert error. Per tant, en els càlculs, cal tractar amb valors aproximats dels paràmetres i recórrer a l'arrodoniment de nombres incòmodes,així com altres simplificacions. Tenint això en compte, tornarem a procedir a problemes sobre el significat físic de la derivada, atès que només són una mena de model matemàtic dels processos més complexos que ocorren a la natura.
Erupció del volcà
Imaginem que un volcà entra en erupció. Què tan perillós pot ser? Per respondre a aquesta pregunta, cal tenir en compte molts factors. Intentarem acollir-ne un.
Des de la boca del "monstre ardent" es llancen pedres verticalment cap amunt, tenint una velocitat inicial des del moment que surten cap a l'exterior de 120 m/s. Cal calcular quina pot arribar a l'alçada màxima.
Per trobar el valor desitjat, compondrem una equació per a la dependència de l'alçada H, mesurada en metres, d' altres valors. Aquests inclouen la velocitat i el temps inicials. El valor d'acceleració es considera conegut i aproximadament igual a 10 m/s2.
Derivada parcial
Ara considerem el significat físic de la derivada d'una funció des d'un angle lleugerament diferent, perquè l'equació en si pot contenir no una, sinó diverses variables. Per exemple, en el problema anterior, la dependència de l'alçada de les pedres expulsades de la sortida del volcà estava determinada no només pel canvi en les característiques del temps, sinó també pel valor de la velocitat inicial. Aquest últim es considerava un valor constant i fix. Però en altres tasques amb condicions completament diferents, tot podria ser diferent. Si les quantitats en què el complexFunció, diversos, els càlculs es fan segons les fórmules següents.
El significat físic de la derivada freqüent s'ha de determinar com en el cas habitual. Aquesta és la velocitat a la qual la funció canvia en un punt determinat a mesura que augmenta el paràmetre de la variable. Es calcula de tal manera que tots els altres components es prenen com a constants, només un es considera una variable. Aleshores tot passa segons les regles habituals.
Assessor indispensable en molts temes
Entenent el significat físic de la derivada, no és difícil donar exemples de resolució de problemes complexos i complexos, en els quals la resposta es pot trobar amb aquests coneixements. Si tenim una funció que descriu el consum de combustible en funció de la velocitat del cotxe, podem calcular a quins paràmetres d'aquest últim serà el menor consum de gasolina.
En medicina, podeu predir com reaccionarà el cos humà davant un medicament prescrit per un metge. Prendre el fàrmac afecta una varietat de paràmetres fisiològics. Aquests inclouen canvis en la pressió arterial, la freqüència cardíaca, la temperatura corporal i molt més. Tots ells depenen de la dosi del fàrmac pres. Aquests càlculs ajuden a predir el curs del tractament, tant en manifestacions favorables com en accidents indesitjables que poden afectar mortalment els canvis en el cos del pacient.
Sens dubte, és important entendre el significat físic de la derivada en tècniquesqüestions, en particular en enginyeria elèctrica, electrònica, disseny i construcció.
Distància de frenada
Anem a considerar el següent problema. Desplaçant-se a velocitat constant, el cotxe, acostant-se al pont, ha hagut de reduir la velocitat 10 segons abans de l'entrada, ja que el conductor va adonar-se d'un senyal de trànsit que prohibia la circulació a una velocitat superior a 36 km/h. El conductor ha infringit les regles si la distància de frenada es pot descriure amb la fórmula S=26t - t2?
Calculant la primera derivada, trobem la fórmula de la velocitat, obtenim v=28 – 2t. A continuació, substituïu el valor t=10 a l'expressió especificada.
Com que aquest valor s'expressa en segons, la velocitat és de 8 m/s, el que significa 28,8 km/h. Això permet entendre que el conductor va començar a frenar a temps i no va infringir les normes de trànsit, i per tant el límit indicat al senyal de velocitat.
Això demostra la importància del significat físic de la derivada. Un exemple de resolució d'aquest problema demostra l'amplitud de l'ús d'aquest concepte en diferents àmbits de la vida. Inclòs en situacions quotidianes.
Derivada en economia
Fins al segle XIX, els economistes majoritàriament operaven amb una mitjana, tant si es tractava de la productivitat laboral com del preu de la producció. Però a partir d'algun moment, els valors límit es van fer més necessaris per fer previsions efectives en aquest àmbit. Aquests inclouen la utilitat marginal, els ingressos o el cost. Comprendre això va impulsar la creació d'una eina completament nova en recerca econòmica,que ha existit i desenvolupat durant més de cent anys.
Per fer aquests càlculs, on predominen conceptes com a mínim i màxim, només cal entendre el significat geomètric i físic de la derivada. Entre els creadors de la base teòrica d'aquestes disciplines, es poden citar economistes anglesos i austríacs tan destacats com els EUA Jevons, K. Menger i altres. Per descomptat, els valors límit en els càlculs econòmics no sempre són convenients d'utilitzar. I, per exemple, els informes trimestrals no encaixen necessàriament amb l'esquema existent, però tot i així, l'aplicació d'aquesta teoria en molts casos és útil i eficaç.
