Un ampli ventall de relacions sobre l'exemple dels conjunts va acompanyat d'un gran nombre de conceptes, començant per les seves definicions i acabant amb una anàlisi analítica de paradoxes. La varietat del concepte tractat a l'article sobre el conjunt és infinita. Encara que, quan es parla de tipus duals, això significa relacions binàries entre diversos valors. I també entre objectes o enunciats.
Per regla general, les relacions binàries es denoten amb el símbol R, és a dir, si xRx per a qualsevol valor x del camp R, aquesta propietat s'anomena reflexiva, en la qual x i x són objectes de pensament acceptats, i R serveix com a senyal de si o una altra forma de relació entre individus. Al mateix temps, si expresseu xRy® o yRx, això indica un estat de simetria, on ® és un signe d'implicació semblant a la unió "si … aleshores … ". I, finalment, la descodificació de la la inscripció (xRy Ùy Rz) ®xRz parla de la relació transitiva, i el signe Ù és una conjunció.
Una relació binària que és alhora reflexiva, simètrica i transitiva s'anomena relació d'equivalència. La relació f és una funció, i la igu altat y=z se segueix de Î f i Î f. Es pot aplicar fàcilment una funció binària senzillaa dos arguments simples en un ordre determinat, i només en aquest cas li proporciona un significat dirigit a aquestes dues expressions preses en un cas concret.
S'ha de dir que f mapa x a y,
si f és una funció amb rang x i rang y. Tanmateix, quan f extrapola x a y, i y Í z, això fa que f mostri x en z. Un exemple senzill: si f(x)=2x és cert per a qualsevol nombre enter x, llavors es diu que f mapa el conjunt amb signe de tots els enters coneguts al conjunt dels mateixos nombres enters, però aquesta vegada els nombres parells. Com s'ha esmentat anteriorment, les relacions binàries que són alhora reflexives, simètriques i transitives són relacions d'equivalència.
A partir de l'anterior, les relacions d'equivalència de les relacions binàries es determinen per propietats:
- reflexivitat - relació (M ~ N);
- simetries: si la igu altat és M ~ N, hi haurà N ~ M;
- transitivitat - si dues igu altats M ~ N i N ~ P, com a resultat M ~ P.
Considerem les propietats declarades de les relacions binàries amb més detall. La reflexivitat és una de les característiques de determinades connexions, on cada element del conjunt objecte d'estudi es troba en una igu altat determinada amb si mateix. Per exemple, entre els nombres a=c i a³ c hi ha connexions reflexives, ja que sempre a=a, c=c, a³ a, c³ c. Al mateix temps, la relació de la desigu altat a>c és antireflexiva per la impossibilitat de l'existència de la desigu altat a>a. L'axioma d'aquesta propietat està codificat per signes: aRc®aRa Ù cRc, aquí el símbol ® significa la paraula "implica" (o "implica"), i el signe Ù - és la unió "i" (o conjunció). D'aquesta afirmació es dedueix que si el judici aRc és cert, les expressions aRa i cRc també ho són.
La simetria comporta la presència d'una relació encara que els objectes mentals s'intercanviïn, és a dir, amb una relació simètrica, la reordenació dels objectes no comporta una transformació del tipus "relacions binàries". Per exemple, la relació d'igu altat a=c és simètrica a causa de l'equivalència de la relació c=a; la proposició a¹c també és la mateixa, ja que correspon a la connexió amb¹a.
Un conjunt transitiu és una propietat que compleix el següent requisit: y н x, z н y ® z н x, on ® és un signe que substitueix les paraules: "si…, aleshores…". La fórmula es llegeix verbalment de la següent manera: "Si y depèn de x, z pertany a y, aleshores z també depèn de x".
