Angles díedrics de la piràmide i el mètode del seu càlcul

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:42

Els paràmetres lineals típics de qualsevol piràmide són les longituds dels costats de la seva base, l'alçada, les vores laterals i les apotemes. No obstant això, hi ha una altra característica que s'associa amb els paràmetres assenyalats: aquest és l'angle diedre. Considereu a l'article què és i com trobar-lo.

Piràmide de figures espacials

Cada alumne té una bona idea del que està en joc quan escolta la paraula "piràmide". Es pot construir geomètricament de la següent manera: seleccioneu un polígon determinat, després fixeu un punt a l'espai i connecteu-lo a cada cantonada del polígon. La figura tridimensional resultant serà una piràmide de tipus arbitrari. El polígon que el forma s'anomena base, i el punt amb el qual estan connectades totes les seves cantonades és el vèrtex de la figura. La figura següent mostra esquemàticament una piràmide pentagonal.

Es pot veure que la seva superfície està formada no només per un pentàgon, sinó també per cinc triangles. En general, el nombre d'aquests triangles serà igual al nombrecostats d'una base poligonal.

Àngulos díedrics de la figura

Quan es consideren problemes geomètrics en un pla, qualsevol angle està format per dues rectes o segments que es tallen. A l'espai, a aquests angles lineals s'afegeixen angles díedres, formats per la intersecció de dos plans.

Si la definició marcada d'un angle en l'espai s'aplica a la figura en qüestió, llavors podem dir que hi ha dos tipus d'angles díedrics:

A la base de la piràmide. Està format pel pla de la base i qualsevol de les cares laterals (triangle). Això vol dir que els angles de la base de la piràmide són n, on n és el nombre de costats del polígon.
Entre els costats (triangles). El nombre d'aquests angles díedrics també és de n peces.

Tingueu en compte que el primer tipus d'angles considerats es construeix a les vores de la base, el segon tipus - a les vores laterals.

Com calcular els angles d'una piràmide?

L'angle lineal d'un angle díedre és la mesura d'aquest últim. No és fàcil calcular-lo, ja que les cares de la piràmide, a diferència de les cares del prisma, no es tallen en angle recte en el cas general. És més fiable calcular els valors dels angles díedrics utilitzant les equacions del pla en forma general.

A l'espai tridimensional, un pla ve donat per l'expressió següent:

Ax + By + Cz + D=0

On A, B, C i D són nombres reals. La conveniència d'aquesta equació és que els tres primers nombres marcats són les coordenades del vector,que és perpendicular al pla donat, és a dir:

n¯=[A; B; C]

Si es coneixen les coordenades de tres punts que pertanyen al pla, prenent el producte vectorial de dos vectors construïts sobre aquests punts, es poden obtenir les coordenades n¯. El vector n¯ s'anomena guia del pla.

Segons la definició, l'angle díedre format per la intersecció de dos plans és igual a l'angle lineal entre els seus vectors de direcció. Suposem que tenim dos plans els vectors normals dels quals són iguals:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Per calcular l'angle φ entre ells, podeu utilitzar la propietat del producte escalar, i després la fórmula corresponent esdevé:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

O en forma de coordenades:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Mostrem com utilitzar el mètode anterior per calcular angles díedrics en resoldre problemes geomètrics.

Angles d'una piràmide quadrangular regular

Suposem que hi ha una piràmide regular, a la base de la qual hi ha un quadrat amb un costat de 10 cm. L'alçada de la figura és12 cm. Cal calcular quins són els angles díedrics a la base de la piràmide i pels seus costats.

Com que la xifra donada a la condició del problema és correcta, és a dir, té una simetria elevada, aleshores tots els angles de la base són iguals entre si. Els angles que formen les cares laterals també són els mateixos. Per calcular els angles díedres necessaris, trobem els vectors de direcció per a la base i els dos plans laterals. Indica la longitud del costat de la base amb la lletra a i l'alçada h.

La imatge de d alt mostra una piràmide regular quadrangular. Escrivim les coordenades dels punts A, B, C i D d'acord amb el sistema de coordenades introduït:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Ara trobem els vectors de direcció per als plans base ABC i els dos costats ABD i BCD d'acord amb el mètode descrit al paràgraf anterior:

Per a ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Per a ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Per a BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Ara queda aplicar la fórmula adequada per a l'angle φ i substituir els valors de costat i d'alçada de l'enunciat del problema:

Angle entre ABC iABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2) /4)))=67, 38^o

Angle entre ABD i BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+) a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a) 2^{/4)))=81, 49}o

Vam calcular els valors dels angles que calia trobar per la condició del problema. Les fórmules obtingudes per resoldre el problema es poden utilitzar per determinar els angles díedres de piràmides regulars quadrangulars amb qualsevol valor de a i h.

Angles d'una piràmide regular triangular

La figura següent mostra una piràmide la base de la qual és un triangle regular. Se sap que l'angle díedre entre els costats és recte. Cal calcular l'àrea de la base si se sap que l'alçada de la figura és de 15 cm.

Un angle díedre igual a 90^o s'indica com ABC a la figura. Podeu resoldre el problema mitjançant el mètode anterior, però en aquest cas ho farem més fàcil. Denotem el costat del triangle a, l'alçada de la figura - h, l'apotema - h_b i el costatcostella - b. Ara pots escriure les fórmules següents:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Com que els dos triangles laterals de la piràmide són iguals, els costats AB i CB són iguals i són els catets del triangle ABC. Denotem la seva longitud amb x, aleshores: