En geometria s'utilitzen dues característiques importants per estudiar les figures: la longitud dels costats i els angles entre ells. En el cas de les figures espacials, a aquestes característiques s'afegeixen angles díedrics. Considerem què és, i també descrivim el mètode per determinar aquests angles utilitzant l'exemple d'una piràmide.
El concepte d'angle diedre
Tothom sap que dues rectes que es tallen formen un angle amb el vèrtex en el punt de la seva intersecció. Aquest angle es pot mesurar amb un transportador, o podeu utilitzar funcions trigonomètriques per calcular-lo. L'angle format per dos angles rectes s'anomena lineal.
Ara imagineu-vos que a l'espai tridimensional hi ha dos plans que es tallen en línia recta. Es mostren a la imatge.
Un angle díedre és l'angle entre dos plans que es tallen. Igual que la lineal, es mesura en graus o radians. Si a qualsevol punt de la línia al llarg de la qual es tallen els plans, restaureu dues perpendiculars,situat en aquests plans, llavors l'angle entre ells serà el díedre desitjat. La manera més senzilla de determinar aquest angle és utilitzar les equacions generals dels plans.
L'equació dels plans i la fórmula de l'angle entre ells
L'equació de qualsevol pla de l'espai en termes generals s'escriu de la següent manera:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Aquí x, y, z són les coordenades dels punts que pertanyen al pla, els coeficients A, B, C, D són alguns nombres coneguts. La conveniència d'aquesta igu altat per calcular angles díedrics és que conté explícitament les coordenades del vector de direcció del pla. Ho denotarem amb n¯. Aleshores:
n¯=(A; B; C).
El vector n¯ és perpendicular al pla. L'angle entre dos plans és igual a l'angle entre els seus vectors de direcció n1¯ i n2¯. Per les matemàtiques se sap que l'angle format per dos vectors es determina de manera única a partir del seu producte escalar. Això us permet escriure una fórmula per calcular l'angle díedre entre dos plans:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Si substituïm les coordenades dels vectors, la fórmula s'escriurà explícitament:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
El signe mòdul al numerador s'utilitza per definir només un angle agut, ja que un angle díedre sempre és menor o igual a 90o.
Piràmide i els seus racons
La piràmide és una figura formada per un n-gon i n triangles. Aquí n és un nombre enter igual al nombre de costats del polígon que és la base de la piràmide. Aquesta figura espacial és un políedre o poliedre, ja que consta de cares planes (costs).
Els angles díedres d'una piràmide-poliedre poden ser de dos tipus:
- entre la base i el costat (triangle);
- entre dos costats.
Si la piràmide es considera regular, és fàcil determinar-ne els angles. Per fer-ho, utilitzant les coordenades de tres punts coneguts, s'hauria de compondre una equació de plans, i després utilitzar la fórmula donada al paràgraf anterior per a l'angle φ.
A continuació donem un exemple en què mostrem com trobar angles díedrics a la base d'una piràmide regular quadrangular.
Una piràmide regular quadrangular i un angle a la seva base
Suposem que es dóna una piràmide regular de base quadrada. La longitud del costat del quadrat és a, l'alçada de la figura és h. Troba l'angle entre la base de la piràmide i el seu costat.
Coloquem l'origen del sistema de coordenades al centre del quadrat. Després les coordenades dels puntsA, B, C, D que es mostren a la imatge seran:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Considereu els avions ACB i ADB. Òbviament, el vector de direcció n1¯ per al pla ACB serà:
1¯=(0; 0; 1).
Per determinar el vector de direcció n2¯ del pla ADB, procediu de la següent manera: trobeu dos vectors arbitraris que li pertanyin, per exemple, AD¯ i AB¯, després calculeu el seu treball vectorial. El seu resultat donarà les coordenades n2¯. Tenim:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Com que la multiplicació i divisió d'un vector per un nombre no canvia la seva direcció, transformem l'n2¯, dividint les seves coordenades per -a, obtenim:
2¯=(h; 0; a/2).
Hem definit guies vectorials n1¯ i n2¯ per a la base ACB i els plans laterals ADB. Queda per utilitzar la fórmula per a l'angle φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a) 2/4)).
Transformeu l'expressió resultant i torneu-la a escriure així:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Hem obtingut la fórmula de l'angle díedre a la base d'una piràmide quadrangular regular. Coneixent l'alçada de la figura i la longitud del seu costat, podeu calcular l'angle φ. Per exemple, per a la piràmide de Keops, el costat base de la qual és de 230,4 metres i l'alçada inicial era de 146,5 metres, l'angle φ serà 51,8o.
També és possible determinar l'angle díedre d'una piràmide regular quadrangular mitjançant el mètode geomètric. Per fer-ho, n'hi ha prou de considerar un triangle rectangle format per l'alçada h, la meitat de la longitud de la base a/2 i l'apotema d'un triangle isòsceles.
