La capacitat de calcular el volum de figures espacials és important per resoldre una sèrie de problemes pràctics de geometria. Una de les formes més habituals és la piràmide. En aquest article, considerarem les fórmules del volum de la piràmide, tant completa com truncada.
Piràmide com a figura tridimensional
Tothom sap de les piràmides egípcies, així que tenen una bona idea de quina figura es parlarà. Tanmateix, les estructures de pedra egípcies són només un cas especial d'una gran classe de piràmides.
L'objecte geomètric considerat en el cas general és una base poligonal, cada vèrtex de la qual està connectat a algun punt de l'espai que no pertany al pla base. Aquesta definició condueix a una figura formada per un n-gon i n triangles.
Qualsevol piràmide consta de n+1 cares, 2n arestes i n+1 vèrtexs. Com que la figura en qüestió és un poliedre perfecte, el nombre d'elements marcats obeeix a la igu altat d'Euler:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
El polígon de la base dóna el nom de la piràmide,per exemple, triangular, pentagonal, etc. A la foto següent es mostra un conjunt de piràmides amb diferents bases.
El punt on estan connectats n triangles de la figura s'anomena la part superior de la piràmide. Si una perpendicular es baixa des d'ella a la base i la talla en el centre geomètric, llavors aquesta figura s'anomenarà línia recta. Si no es compleix aquesta condició, hi ha una piràmide inclinada.
Una figura recta la base de la qual està formada per un n-gon equilàter (equiangular) s'anomena regular.
Fórmula de volum de la piràmide
Per calcular el volum de la piràmide, fem servir el càlcul integral. Per fer-ho, dividim la figura per plans secants paral·lels a la base en un nombre infinit de capes fines. La figura següent mostra una piràmide quadrangular amb alçada h i longitud lateral L, en la qual una capa fina de secció està marcada amb un quadrilàter.
L'àrea de cada capa es pot calcular mitjançant la fórmula:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Aquí A0 és l'àrea de la base, z és el valor de la coordenada vertical. Es pot veure que si z=0, aleshores la fórmula dóna el valor A0.
Per obtenir la fórmula del volum d'una piràmide, hauríeu de calcular la integral sobre tota l'alçada de la figura, és a dir:
V=∫h0(A(z)dz).
Substituint la dependència A(z) i calculant l'antiderivada, arribem a l'expressió:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Hem obtingut la fórmula per al volum de la piràmide. Per trobar el valor de V, n'hi ha prou de multiplicar l'alçada de la figura per l'àrea de la base i després dividir el resultat per tres.
Tingueu en compte que l'expressió resultant és vàlida per calcular el volum d'una piràmide de tipus arbitrari. És a dir, pot ser inclinat i la seva base pot ser un n-gon arbitrari.
La piràmide correcta i el seu volum
La fórmula general de volum obtinguda en el paràgraf anterior es pot refinar en el cas d'una piràmide amb la base correcta. L'àrea d'aquesta base es calcula mitjançant la fórmula següent:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Aquí L és la longitud del costat d'un polígon regular amb n vèrtexs. El símbol pi és el número pi.
Substituint l'expressió per A0 a la fórmula general, obtenim el volum d'una piràmide regular:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Per exemple, per a una piràmide triangular, aquesta fórmula condueix a l'expressió següent:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Per a una piràmide quadrangular normal, la fórmula del volum es converteix en:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Per determinar el volum de les piràmides regulars cal conèixer el costat de la seva base i l'alçada de la figura.
Piràmide truncada
Suposem que prenemuna piràmide arbitrària i talla una part de la seva superfície lateral que conté la part superior. La figura restant s'anomena piràmide truncada. Ja consta de dues bases n-gonals i n trapezis que les uneixen. Si el pla de tall era paral·lel a la base de la figura, es forma una piràmide truncada amb bases similars paral·leles. És a dir, les longituds dels costats d'un d'ells es poden obtenir multiplicant les longituds de l' altre per algun coeficient k.
La imatge de d alt mostra una piràmide hexagonal regular truncada. Es pot veure que la seva base superior, com la inferior, està formada per un hexàgon regular.
La fórmula per al volum d'una piràmide truncada, que es pot derivar mitjançant un càlcul integral similar al donat, és:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
On A0 i A1 són les àrees de la base inferior (gran) i superior (petita), respectivament. La variable h és l'alçada de la piràmide truncada.
El volum de la piràmide de Keops
És interessant resoldre el problema de determinar el volum que conté a l'interior la piràmide egípcia més gran.
El 1984, els egiptòlegs britànics Mark Lehner i Jon Goodman van establir les dimensions exactes de la piràmide de Keops. La seva alçada original era de 146,50 metres (actualment uns 137 metres). La longitud mitjana de cadascun dels quatre costats de l'estructura era de 230,363 metres. La base de la piràmide és quadrada amb gran precisió.
Utilitzem les xifres donades per determinar el volum d'aquest gegant de pedra. Com que la piràmide és un quadrangular regular, la fórmula és vàlida per a ella:
V4=1/3L2h.
Substituïm els números, obtenim:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
El volum de la piràmide de Keops és de gairebé 2,6 milions de m3. Com a comparació, observem que la piscina olímpica té un volum de 2,5 mil m3. És a dir, per omplir tota la piràmide de Keops, es necessitaran més de 1000 d'aquestes piscines!
