Moviment del cos en angle respecte a l'horitzó: fórmules, càlcul del rang de vol i altitud màxima d'enlairament

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 05:19

Quan estudien el moviment mecànic en física, després de familiaritzar-se amb el moviment uniforme i uniformement accelerat dels objectes, passen a considerar el moviment d'un cos en un angle respecte a l'horitzó. En aquest article, estudiarem aquest problema amb més detall.

Quin és el moviment d'un cos en un angle respecte a l'horitzó?

Aquest tipus de moviment d'objectes es produeix quan una persona llança una pedra a l'aire, un canó dispara una pilota de canó o un porter llança una pilota de futbol fora de la porteria. Tots aquests casos són considerats per la ciència de la balística.

El tipus de moviment assenyalat dels objectes a l'aire es produeix al llarg d'una trajectòria parabòlica. En el cas general, realitzar els càlculs corresponents no és una tasca fàcil, ja que cal tenir en compte la resistència de l'aire, la rotació del cos durant el vol, la rotació de la Terra al voltant del seu eix i alguns altres factors.

En aquest article, no tindrem en compte tots aquests factors, sinó que considerem la qüestió des d'un punt de vista purament teòric. Tanmateix, les fórmules resultants són força bonesdescriure les trajectòries dels cossos que es mouen a distàncies curtes.

Obtenció de fórmules per al tipus de moviment considerat

Derivem les fórmules del moviment del cos cap a l'horitzó en angle. En aquest cas, tindrem en compte només una única força que actua sobre un objecte volador: la gravetat. Com que actua verticalment cap avall (paral·lel a l'eix y i contra ell), aleshores, considerant les components horitzontal i vertical del moviment, podem dir que el primer tindrà el caràcter d'un moviment rectilini uniforme. I el segon: moviment rectilini igualment lent (uniformement accelerat) amb acceleració g. És a dir, les components de la velocitat a través del valor v₀ (velocitat inicial) i θ (l'angle de la direcció del moviment del cos) s'escriuran de la següent manera:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ)-gt

La primera fórmula (per a v_x) sempre és vàlida. Pel que fa al segon, cal assenyalar aquí un matís: el signe menys abans del producte gt només es posa si la component vertical v₀sin(θ) està dirigida cap amunt. En la majoria dels casos, això passa, però, si llenceu un cos des d'una alçada, apuntant-lo cap avall, a l'expressió per a v_y haureu de posar un signe "+" abans de g t.

Integrant les fórmules de les components de la velocitat al llarg del temps, i tenint en compte l'alçada inicial h del vol del cos, obtenim les equacions per a les coordenades:

x=v₀cos(θ)t

y=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Calcula l'interval de vol

Quan es considera en física el moviment d'un cos cap a l'horitzó en un angle útil per a un ús pràctic, resulta que es calcula el rang de vol. Definim-ho.

Com que aquest moviment és un moviment uniforme sense acceleració, n'hi ha prou amb substituir-hi el temps de vol i obtenir el resultat desitjat. L'abast de vol es determina únicament pel moviment al llarg de l'eix x (paral·lel a l'horitzó).

El temps que el cos està a l'aire es pot calcular igualant la coordenada y a zero. Tenim:

0=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Aquesta equació quadràtica es resol mitjançant el discriminant, obtenim:

D=b²- 4ac=v₀²sin ²(θ) - 4(-g/2)h=v₀² sin²(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v₀sin(θ)±√(v₀ ²sin²(θ) + 2gh))/(-2g/2)=

=(v₀sin(θ)+√(v₀² sin²(θ) + 2gh))/g.

A l'última expressió, es descarta una arrel amb signe menys, a causa del seu valor físic insignificant. Substituint el temps de vol t a l'expressió de x, obtenim el rang de vol l:

l=x=v₀cos(θ)(v₀sin(θ)+√(v ₀²sin²(θ) + 2gh))/g.

La manera més fàcil d'analitzar aquesta expressió és si l'alçada inicialés igual a zero (h=0), llavors obtenim una fórmula senzilla:

l=v ₀²sin(2θ)/g

Aquesta expressió indica que es pot obtenir el rang de vol màxim si el cos es llança en un angle de 45^o(sin(245^o )=m1).

Alçada corporal màxima

A més del rang de vol, també és útil trobar l'alçada sobre el terra a la qual el cos pot aixecar-se. Com que aquest tipus de moviment es descriu mitjançant una paràbola, les branques de la qual es dirigeixen cap avall, l'alçada màxima d'elevació és el seu extrem. Aquest últim es calcula resolent l'equació de la derivada respecte a t per a y:

dy/dt=d(h+v₀sin(θ)t-gt²/2)/dt=v₀sin(θ)-gt=0=>

=>t=v₀sin(θ)/g.

Substituïm aquesta vegada a l'equació de y, obtenim:

y=h+v₀sin(θ)v₀sin(θ)/g-g(v ₀sin(θ)/g)²/2=h + v₀ ²sin²(θ)/(2g).

Aquesta expressió indica que el cos s'elevarà a l'alçada màxima si es llança verticalment cap amunt (sin²(90^o)=1).