La fórmula del volum d'una piràmide hexagonal: un exemple de resolució d'un problema

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:43

El càlcul de volums de figures espacials és una de les tasques importants de l'estereometria. En aquest article, considerarem la qüestió de determinar el volum d'un poliedre com una piràmide i també donarem la fórmula per al volum d'una piràmide hexagonal regular.

piràmide hexagonal

Primer, mirem quina és la xifra, que es parlarà a l'article.

Tindrem un hexàgon arbitrari els costats del qual no són necessàriament iguals entre si. Suposem també que hem escollit un punt de l'espai que no es troba en el pla de l'hexàgon. En connectar totes les cantonades d'aquest últim amb el punt seleccionat, obtenim una piràmide. A la figura següent es mostren dues piràmides diferents amb una base hexagonal.

Es pot veure que, a més de l'hexàgon, la figura consta de sis triangles, el punt de connexió dels quals s'anomena vèrtex. La diferència entre les piràmides representades és que l'alçada h de la dreta d'elles no talla la base hexagonal en el seu centre geomètric, i l'alçada de la figura esquerra cau.just en aquest centre. Gràcies a aquest criteri, la piràmide esquerra es va anomenar recta i la dreta obliqua.

Com que la base de la figura esquerra de la figura està formada per un hexàgon de costats i angles iguals, s'anomena correcta. Més endavant en l'article parlarem només d'aquesta piràmide.

Volum de la piràmide hexagonal

Per calcular el volum d'una piràmide arbitrària, és vàlida la fórmula següent:

V=1/3hS_o

Aquí h és la longitud de l'alçada de la figura, S_{o és l'àrea de la seva base. Utilitzem aquesta expressió per determinar el volum d'una piràmide hexagonal regular.}

Com que la figura en qüestió es basa en un hexàgon equilàter, per calcular la seva àrea, podeu utilitzar l'expressió general següent per a un n-gon:

S=n/4a2ctg(pi/n)

Aquí n és un nombre enter igual al nombre de costats (cantonades) del polígon, a és la longitud del seu costat, la funció cotangent es calcula mitjançant les taules adequades.

Aplicant l'expressió per a n=6, obtenim:

S₆=6/4a² ctg(pi/6)=√3/2a ²

Ara queda per substituir aquesta expressió a la fórmula general del volum V:

V₆=S₆h=√3/2ha²

Així, per calcular el volum de la piràmide considerada, cal conèixer els seus dos paràmetres lineals: la longitud del costat de la base i l'alçada de la figura.

Exemple de resolució de problemes

Mostrem com l'expressió obtinguda per a V_{6 es pot utilitzar per resoldre el problema següent.}

Se sap que el volum d'una piràmide hexagonal regular és de 100 cm3. Cal determinar el costat de la base i l'alçada de la figura, si se sap que estan relacionades entre si per la següent igu altat:

a=2h

Com que només a i h s'inclouen a la fórmula del volum, es pot substituir qualsevol d'aquests paràmetres, expressat en termes de l' altre. Per exemple, substituint a, obtenim:

V₆=√3/2h(2h)^2=>

h=∛(V_6/(2√3))

Per trobar el valor de l'alçada d'una figura, cal treure l'arrel del tercer grau del volum, que correspon a la dimensió de la longitud. Substituïm el valor de volum V_{6de la piràmide de l'enunciat del problema, obtenim l'alçada:}

h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm

Com que el costat de la base, d'acord amb la condició del problema, és el doble del valor trobat, obtenim el valor d'aquest:

a=2h=23, 0676=6, 1352 cm

El volum d'una piràmide hexagonal es pot trobar no només a través de l'alçada de la figura i el valor del costat de la seva base. N'hi ha prou de conèixer dos paràmetres lineals diferents de la piràmide per calcular-la, per exemple, l'apotema i la longitud de la vora lateral.