Piràmide hexagonal regular. Fórmules de volum i superfície. Solució d'un problema geomètric

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:43

L'estereometria, com a branca de la geometria a l'espai, estudia les propietats de prismes, cilindres, cons, boles, piràmides i altres figures tridimensionals. Aquest article està dedicat a una revisió detallada de les característiques i propietats d'una piràmide regular hexagonal.

Quina piràmide s'estudiarà

Una piràmide hexagonal regular és una figura a l'espai, que està limitada per un hexàgon equilàter i equiangular i sis triangles isòsceles idèntics. Aquests triangles també poden ser equilàters sota determinades condicions. Aquesta piràmide es mostra a continuació.

Aquí es mostra la mateixa figura, només en un cas es gira amb la cara lateral cap al lector, i en l' altre - amb la vora lateral.

Una piràmide hexagonal regular té 7 cares, que s'han esmentat anteriorment. També té 7 vèrtexs i 12 arestes. A diferència dels prismes, totes les piràmides tenen un vèrtex especial, que es forma per la intersecció de la part lateral.triangles. Per a una piràmide regular, té un paper important, ja que la perpendicular baixada d'ella a la base de la figura és l'alçada. A més, l'alçada es denotarà amb la lletra h.

La piràmide mostrada s'anomena correcta per dos motius:

• a la seva base hi ha un hexàgon amb longituds laterals iguals a i angles iguals de 120o;
• L'alçada de la piràmide h talla l'hexàgon exactament al seu centre (el punt d'intersecció es troba a la mateixa distància de tots els costats i de tots els vèrtexs de l'hexàgon).

Superfície

Les propietats d'una piràmide hexagonal regular es consideraran a partir de la definició de la seva àrea. Per fer-ho, primer és útil desplegar la figura en un pla. A continuació es mostra una representació esquemàtica.

Es pot veure que l'àrea de l'escombrat, i per tant tota la superfície de la figura en qüestió, és igual a la suma de les àrees de sis triangles idèntics i un hexàgon.

Per determinar l'àrea d'un hexàgon S_{6, utilitzeu la fórmula universal per a un n-gon regular:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

On a és la longitud del costat de l'hexàgon.

L'àrea d'un triangle S₃ del costat lateral es pot trobar si coneixeu el valor de la seva alçada h_b:

S₃=1/2h_ba.

Perquè tots sisEls triangles són iguals entre si, llavors obtenim una expressió de treball per determinar l'àrea d'una piràmide hexagonal amb la base correcta:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Volum de la piràmide

Igual que l'àrea, el volum d'una piràmide regular hexagonal és la seva propietat important. Aquest volum es calcula mitjançant la fórmula general per a totes les piràmides i cons. Escrivim-ho:

V=1/3S_oh.

Aquí, el símbol S_o és l'àrea de la base hexagonal, és a dir, S_o=S _6.

Substituint l'expressió anterior per S_{6 a la fórmula de V, arribem a la igu altat final per determinar el volum d'una piràmide hexagonal regular:}

V=√3/2a2h.

Un exemple de problema geomètric

En una piràmide hexagonal regular, la vora lateral és el doble de la longitud del costat de la base. Sabent que aquest últim fa 7 cm, cal calcular la superfície i el volum d'aquesta figura.

Com podeu suposar, la solució d'aquest problema passa per l'ús de les expressions obtingudes anteriorment per a S i V. No obstant això, no serà possible utilitzar-les de seguida, ja que no coneixem l'apotema i la alçada d'una piràmide hexagonal regular. Calculem-los.

L'apotema h_b es pot determinar considerant un triangle rectangle construït als costats b, a/2 i h_{b. Aquí b és la longitud de la vora lateral. Utilitzant la condició del problema, obtenim:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13.555 cm.}

L'alçada h de la piràmide es pot determinar exactament de la mateixa manera que una apotema, però ara hauríem de considerar un triangle amb els costats h, b i a, situat dins de la piràmide. L'alçada serà:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Es pot veure que el valor d'alçada calculat és inferior al de l'apotema, que és cert per a qualsevol piràmide.

Ara podeu utilitzar expressions per a volum i àrea:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 cm^3.

Per tant, per determinar sense ambigüitats qualsevol característica d'una piràmide hexagonal regular, cal conèixer dos dels seus paràmetres lineals.