La recta és l'objecte geomètric principal en el pla i en l'espai tridimensional. És a partir de línies rectes que es construeixen moltes figures, per exemple: un paral·lelogram, un triangle, un prisma, una piràmide, etc. Considereu a l'article diverses maneres d'establir les equacions de rectes.
Definició d'una recta i tipus d'equacions per descriure-la
Cada alumne té una bona idea de quin objecte geomètric està parlant. Una recta es pot representar com un conjunt de punts, i si connectem cadascun d'ells al seu torn amb tots els altres, obtenim un conjunt de vectors paral·lels. En altres paraules, és possible arribar a cada punt de la línia des d'un dels seus punts fixos, transferint-lo a algun vector unitari multiplicat per un nombre real. Aquesta definició de línia recta s'utilitza per definir una igu altat vectorial per a la seva descripció matemàtica tant en el pla com en l'espai tridimensional.
Una recta es pot representar matemàticament mitjançant els següents tipus d'equacions:
- general;
- vector;
- paramètric;
- en segments;
- simètric (canònic).
A continuació, considerarem tots els tipus anomenats i mostrarem com treballar-hi amb exemples de resolució de problemes.
Descripció vectorial i paramètrica d'una línia recta
Comencem definint una línia recta a través d'un vector conegut. Suposem que hi ha un punt fix a l'espai M(x0; y0; z0). Se sap que la recta la travessa i es dirigeix al llarg del segment vectorial v¯(a; b; c). Com trobar un punt arbitrari de la línia a partir d'aquestes dades? La resposta a aquesta pregunta donarà la següent igu altat:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
On λ és un nombre arbitrari.
Es pot escriure una expressió similar per al cas bidimensional, on les coordenades de vectors i punts es representen per un conjunt de dos nombres:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Les equacions escrites s'anomenen equacions vectorials, i el mateix segment dirigit v¯ és el vector de direcció de la recta.
De les expressions escrites s'obtenen les equacions paramètriques corresponents de manera senzilla, n'hi ha prou amb reescriure-les explícitament. Per exemple, per al cas de l'espai, obtenim l'equació següent:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
És convenient treballar amb equacions paramètriques si cal analitzar el comportamentcada coordenada. Tingueu en compte que, tot i que el paràmetre λ pot prendre valors arbitraris, ha de ser el mateix en les tres igu altats.
Equació general
Una altra manera de definir una línia recta, que sovint s'utilitza per treballar amb l'objecte geomètric considerat, és utilitzar una equació general. Per al cas bidimensional, sembla:
Ax + By + C=0
Aquí les lletres llatines majúscules representen valors numèrics específics. La conveniència d'aquesta igu altat per resoldre problemes rau en el fet que conté explícitament un vector que és perpendicular a una recta. Si el denotem amb n¯, llavors podem escriure:
n¯=[A; B]
A més, l'expressió és convenient utilitzar per determinar la distància des d'una línia recta fins a algun punt P(x1; y1). La fórmula per a la distància d és:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
És fàcil demostrar que si expressem explícitament la variable y a partir de l'equació general, obtenim la següent forma coneguda d'escriure una recta:
y=kx + b
On k i b estan determinats exclusivament pels nombres A, B, C.
L'equació en segments i canònica
L'equació en segments és més fàcil d'obtenir des de la vista general. Et mostrarem com fer-ho.
Suposem que tenim la línia següent:
Ax + By + C=0
Moveu el terme lliure al costat dret de la igu altat, després dividiu-hi tota l'equació, obtenim:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, on q=-C / A, p=-C / B
Tenim l'anomenada equació en segments. Va rebre el seu nom pel fet que el denominador pel qual es divideix cada variable mostra el valor de la coordenada de la intersecció de la línia amb l'eix corresponent. És convenient utilitzar aquest fet per representar una línia recta en un sistema de coordenades, així com per analitzar la seva posició relativa en relació amb altres objectes geomètrics (rectes, punts).
Ara passem a obtenir l'equació canònica. Això és més fàcil de fer si tenim en compte l'opció paramètrica. Per al cas a l'avió tenim:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Expressem el paràmetre λ en cada igu altat, després els igualem, obtenim:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Aquesta és l'equació desitjada escrita en forma simètrica. Igual que una expressió vectorial, conté explícitament les coordenades del vector de direcció i les coordenades d'un dels punts que pertanyen a la recta.
Es pot veure que en aquest paràgraf hem donat equacions per al cas bidimensional. De la mateixa manera, podeu escriure l'equació d'una recta a l'espai. Cal assenyalar aquí que si la forma canònicaels registres i l'expressió en segments tindran la mateixa forma, aleshores l'equació general a l'espai per a una recta es representa mitjançant un sistema de dues equacions per a plans que es tallen.
El problema de construir l'equació d'una recta
A partir de la geometria, cada estudiant sap que a través de dos punts es pot traçar una única línia. Suposem que els punts següents es donen al pla de coordenades:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Cal trobar l'equació de la recta a la qual pertanyen tots dos punts, en segments, en forma vectorial, canònica i general.
Anem a obtenir primer l'equació vectorial. Per fer-ho, definiu per al vector de direcció directa M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Ara podeu crear una equació vectorial prenent un dels dos punts especificats a l'enunciat del problema, per exemple, M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
Per obtenir l'equació canònica, n'hi ha prou amb transformar la igu altat trobada en una forma paramètrica i excloure el paràmetre λ. Tenim:
x=-1 - 2λ, per tant λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, aleshores obtenim λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Les dues equacions restants (generals i en segments) es poden trobar a partir de la canònica transformant-la de la següent manera:
x + 1=-2y + 6;
equació general: x + 2y - 5=0;
en l'equació de segments: x / 5 + y / 2, 5=1
Les equacions resultants mostren que el vector (1; 2) ha de ser perpendicular a la recta. De fet, si trobeu el seu producte escalar amb el vector de direcció, serà igual a zero. L'equació del segment de línia diu que la línia talla l'eix x a (5; 0) i l'eix y a (2, 5; 0).
El problema de determinar el punt d'intersecció de les rectes
Les equacions següents donen al pla dues rectes:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Cal determinar les coordenades del punt on es tallen aquestes línies.
Hi ha dues maneres de resoldre el problema:
- Transforma l'equació vectorial en una forma general i després resol el sistema de dues equacions lineals.
- No feu cap transformació, sinó simplement substituïu la coordenada del punt d'intersecció, expressada mitjançant el paràmetre λ, a la primera equació. A continuació, cerqueu el valor del paràmetre.
Fem la segona manera. Tenim:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Substitueix el nombre resultant a l'equació vectorial:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Per tant, l'únic punt que pertany a ambdues línies és el punt amb coordenades (-2; 5). Les línies s'hi tallen.
