La geometria espacial, el curs de la qual s'estudia als cursos 10-11 de l'escola, té en compte les propietats de les figures tridimensionals. L'article dóna una definició geomètrica d'un cilindre, proporciona una fórmula per calcular el seu volum i també resol un problema físic on és important conèixer aquest volum.
Què és un cilindre?
Des del punt de vista de l'estereometria, la definició de cilindre es pot donar de la següent manera: és una figura formada com a conseqüència d'un desplaçament paral·lel d'un segment recte al llarg d'una determinada corba plana tancada. El segment anomenat no ha de pertànyer al mateix pla que la corba. Si la corba és un cercle i el segment és perpendicular a ell, el cilindre format de la manera descrita s'anomena recte i rodó. Es mostra a la imatge següent.
No és difícil endevinar que aquesta forma es pot obtenir girant un rectangle al voltant de qualsevol dels seus costats.
El cilindre té dues bases idèntiques, que són cercles, i un costatsuperfície cilíndrica. El cercle de la base s'anomena directriu i el segment perpendicular que connecta els cercles de diferents bases és el generador de la figura.
Com es pot trobar el volum d'un cilindre recte rodó?
Un cop familiaritzat amb la definició d'un cilindre, considerem quins paràmetres cal conèixer per descriure matemàticament les seves característiques.
La distància entre les dues bases és l'alçada de la figura. És obvi que és igual a la longitud de la generatoratrix. Denotarem l'alçada amb la lletra llatina h. El radi del cercle a la base es denota amb la lletra r. També s'anomena radi del cilindre. Els dos paràmetres introduïts són suficients per descriure sense ambigüitats totes les propietats de la figura en qüestió.
Donada la definició geomètrica d'un cilindre, el seu volum es pot calcular mitjançant la fórmula següent:
V=Sh
Aquí S és l'àrea de la base. Tingueu en compte que per a qualsevol cilindre i per a qualsevol prisma, la fórmula escrita és vàlida. No obstant això, per a un cilindre recte rodó, és força convenient utilitzar-lo, ja que l'alçada és una generatriu i l'àrea S de la base es pot determinar recordant la fórmula per a l'àrea d'un cercle:
S=pir2
Així, la fórmula de treball per al volum V de la figura en qüestió s'escriurà com:
V=pir2h
Força de flotabilitat
Tots els alumnes saben que si un objecte està submergit a l'aigua, el seu pes es reduirà. El motiu d'aquest fetés l'aparició d'una força flotant o arquimèdia. Actua sobre qualsevol cos, independentment de la seva forma i material del qual estiguin fets. La força d'Arquimedes es pot determinar amb la fórmula:
FA=ρlgVl
Aquí ρl i Vl són la densitat del líquid i el seu volum desplaçat pel cos. És important no confondre aquest volum amb el volum del cos. Només coincidiran si el cos està completament immers en el líquid. Per a qualsevol immersió parcial, Vl sempre és inferior a V del cos.
La força de flotació FA s'anomena perquè està dirigida verticalment cap amunt, és a dir, és oposada en sentit a la gravetat. Les diferents direccions dels vectors de força porten al fet que el pes del cos en qualsevol líquid és menor que en l'aire. Per ser justos, observem que a l'aire, tots els cossos també es veuen afectats per una força de flotació, però és insignificant en comparació amb la força d'Arquimede a l'aigua (800 vegades menys).
La diferència de pes dels cossos en líquid i en aire s'utilitza per determinar les densitats de les substàncies sòlides i líquides. Aquest mètode s'anomena pesatge hidrostàtic. Segons la llegenda, Arquimedes la va utilitzar per primera vegada per determinar la densitat del metall a partir del qual es feia la corona.
Utilitzeu la fórmula anterior per determinar la força de flotabilitat que actua sobre un cilindre de llautó.
El problema de calcular la força d'Arquimedes que actua sobre un cilindre de llautó
Se sap que un cilindre de llautó té una alçada de 20 cm i un diàmetre de 10 cm. Quina serà la força d'Arquimedia,que començarà a actuar sobre ell si el cilindre es llença a l'aigua destil·lada.
Per determinar la força de flotabilitat d'un cilindre de llautó, primer de tot, mireu la densitat del llautó a la taula. És igual a 8600 kg/m3 (aquest és el valor mitjà de la seva densitat). Com que aquest valor és més gran que la densitat de l'aigua (1000 kg/m3), l'objecte s'enfonsarà.
Per determinar la força d'Arquimedes, n'hi ha prou amb trobar el volum del cilindre i després utilitzar la fórmula anterior per a FA. Tenim:
V=pir2h=3, 145220=1570 cm 3
Hem substituït el valor del radi de 5 cm a la fórmula, ja que és dues vegades més petit que el donat en la condició del problema del diàmetre.
Per a la força de flotabilitat obtenim:
FA=ρlgV=10009, 81157010-6 =15, 4 H
Aquí hem convertit el volum V a m3.
Així, una força ascendent de 15,4 N actuarà sobre un cilindre de llautó de dimensions conegudes, immers en aigua.
