L'àrea de la superfície lateral i el volum d'una piràmide truncada: fórmules i un exemple de resolució d'un problema típic

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:43

Quan s'estudien les propietats de les figures en l'espai tridimensional en el marc de l'estereometria, sovint s'han de resoldre problemes per determinar el volum i la superfície. En aquest article, mostrarem com calcular el volum i la superfície lateral d'una piràmide truncada mitjançant fórmules conegudes.

Piràmide en geometria

En geometria, una piràmide ordinària és una figura a l'espai, que està construïda sobre un n-gon pla. Tots els seus vèrtexs estan connectats a un punt situat fora del pla del polígon. Per exemple, aquí hi ha una foto que mostra una piràmide pentagonal.

Aquesta figura està formada per cares, vèrtexs i arestes. La cara pentagonal s'anomena base. Les cares triangulars restants formen la superfície lateral. El punt d'intersecció de tots els triangles és el vèrtex principal de la piràmide. Si es baixa una perpendicular des d'ella fins a la base, són possibles dues opcions per a la posició del punt d'intersecció:

• al centre geomètric, llavors la piràmide s'anomena línia recta;
• no dinscentre geomètric, aleshores la figura serà obliqua.

A més, considerarem només les figures rectes amb una base n-gonal regular.

Què és aquesta figura: una piràmide truncada?

Per determinar el volum d'una piràmide truncada, cal entendre clarament quina figura està específicament en qüestió. Aclarim aquest problema.

Suposem que agafem un pla de tall que és paral·lel a la base d'una piràmide normal i tallem una part de la superfície lateral amb ell. Si aquesta operació es fa amb la piràmide pentagonal que es mostra més amunt, obtindreu una figura com a la figura següent.

A la foto es pot veure que aquesta piràmide ja té dues bases, i la de d alt és semblant a la de baix, però de mida més petita. La superfície lateral ja no està representada per triangles, sinó per trapezis. Són isòsceles, i el seu nombre correspon al nombre de costats de la base. La figura truncada no té un vèrtex principal, com una piràmide regular, i la seva alçada ve determinada per la distància entre bases paral·leles.

En el cas general, si la figura considerada està formada per bases n-gonals, té n+2 cares o costats, 2n vèrtexs i 3n arestes. És a dir, la piràmide truncada és un poliedre.

Fórmula per al volum d'una piràmide truncada

Recordeu que el volum d'una piràmide ordinària és 1/3 del producte de la seva alçada i l'àrea de la base. Aquesta fórmula no és adequada per a una piràmide truncada, ja que té dues bases. I el seu volumsempre serà inferior al mateix valor per a la xifra normal de la qual es deriva.

Sense entrar en els detalls matemàtics d'obtenir l'expressió, presentem la fórmula final del volum d'una piràmide truncada. S'escriu així:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Aquí S₁ i S_{2 són les àrees de la base inferior i superior, respectivament, h és l'alçada de la figura. L'expressió escrita és vàlida no només per a una piràmide truncada regular recta, sinó també per a qualsevol figura d'aquesta classe. A més, independentment del tipus de polígons base. L'única condició que limita l'ús de l'expressió per a V és la necessitat que les bases de la piràmide siguin paral·leles entre si.}

Es poden extreure diverses conclusions importants estudiant les propietats d'aquesta fórmula. Per tant, si l'àrea de la base superior és zero, arribem a la fórmula de V d'una piràmide ordinària. Si les àrees de les bases són iguals entre si, obtenim la fórmula del volum del prisma.

Com determinar la superfície lateral?

Conèixer les característiques d'una piràmide truncada requereix no només la capacitat de calcular el seu volum, sinó també saber determinar l'àrea de la superfície lateral.

La piràmide truncada consta de dos tipus de cares:

• trapezis isòsceles;
• bases poligonals.

Si hi ha un polígon regular a les bases, aleshores el càlcul de la seva àrea no representa grandificultats. Per fer-ho, només cal saber la longitud del costat a i el seu número n.

En el cas d'una superfície lateral, el càlcul de la seva àrea passa per determinar aquest valor per a cadascun dels n trapezis. Si l'n-gon és correcte, aleshores la fórmula per a l'àrea de superfície lateral es converteix en:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Aquí h_b és l'alçada del trapezi, que s'anomena apotema de la figura. Les quantitats a₁ i a_{2són les longituds dels costats de bases n-gonals regulars.}

Per a cada piràmide truncada n-gonal regular, l'apotema h_b es pot definir de manera única mitjançant els paràmetres a₁ i a _{2i l'alçada h de la forma.}

La tasca de calcular el volum i l'àrea d'una figura

Donada una piràmide truncada triangular regular. Se sap que la seva alçada h és de 10 cm, i les longituds dels costats de les bases són de 5 cm i 3 cm. Quin és el volum de la piràmide truncada i l'àrea de la seva superfície lateral?

Primer, calculem el valor V. Per fer-ho, troba les àrees dels triangles equilàters situats a les bases de la figura. Tenim:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Substituïu les dades a la fórmula de V, obtenim el volum desitjat:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Per determinar la superfície lateral, hauríeu de saber-holongitud apotema h_{b. Tenint en compte el triangle rectangle corresponent a l'interior de la piràmide, podem escriure'n la igu altat:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

El valor de l'apotema i els costats de les bases triangulars es substitueixen a l'expressió de S_{bi obtenim la resposta:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm²

Així, vam respondre a totes les preguntes del problema: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.