Arrel quadrada aritmètica i les seves propietats

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 05:19

Tots vam estudiar arrels quadrades aritmètiques a classe d'àlgebra a l'escola. Succeeix que si no es refresca el coneixement, s'oblida ràpidament, el mateix amb les arrels. Aquest article serà útil per als alumnes de vuitè que vulguin actualitzar els seus coneixements en aquesta àrea i per a altres escolars, perquè treballem amb arrels a 9è, 10è i 11è.

Història d'arrel i grau

Fins i tot a l'antiguitat, i concretament a l'antic Egipte, la gent necessitava títols per fer operacions amb números. Quan no existia aquest concepte, els egipcis van anotar vint vegades el producte del mateix nombre. Però aviat es va inventar una solució al problema: el nombre de vegades que s'ha de multiplicar el nombre per si mateix es va començar a escriure a l'angle superior dret a sobre, i aquesta forma d'enregistrament ha sobreviscut fins als nostres dies.

I la història de l'arrel quadrada va començar fa uns 500 anys. Va ser designat de diferents maneres, i només al segle XVII René Descartes va introduir aquest signe, que fem servir fins als nostres dies.

Què és una arrel quadrada

Comencem explicant què és una arrel quadrada. L'arrel quadrada d'algun nombre c és un nombre no negatiu que, al quadrat, serà igual a c. En aquest cas, c és major o igual a zero.

Per posar un nombre sota l'arrel, el quadrat i el signe de l'arrel a sobre:

32=9, 3=√9

A més, no podem obtenir el valor de l'arrel quadrada d'un nombre negatiu, ja que qualsevol nombre d'un quadrat és positiu, és a dir:

c² ≧ 0, si √c és un nombre negatiu, aleshores c^{2 < 0 - contrari a la regla.}

Per calcular ràpidament arrels quadrades, cal conèixer la taula de quadrats de nombres.

Propietats

Considerem les propietats algebraiques de l'arrel quadrada.

1) Per extreure l'arrel quadrada del producte, cal treure l'arrel de cada factor. És a dir, es pot escriure com el producte de les arrels dels factors:

√ac=√a × √c, per exemple:

√36=√4 × √9

2) Quan s'extreu una arrel d'una fracció, cal extreure l'arrel per separat del numerador i el denominador, és a dir, escriure-la com a quocient de les seves arrels.

3) El valor obtingut prenent l'arrel quadrada d'un nombre sempre és igual al mòdul d'aquest nombre, ja que el mòdul només pot ser positiu:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Per aixecar una arrel a qualsevol poder, l'aixequemexpressió radical:

(√с)⁴=√с^{4, per exemple:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) El quadrat de l'arrel aritmètica de c és igual a aquest nombre:

(√s)2=s.

Arrels dels nombres irracionals

Diguem que l'arrel de setze és fàcil, però com treure l'arrel de nombres com 7, 10, 11?

Un nombre l'arrel del qual és una fracció no periòdica infinita s'anomena irracional. No podem extreure'n l'arrel pel nostre compte. Només podem comparar-lo amb altres números. Per exemple, agafa l'arrel de 5 i compara-la amb √4 i √9. És clar que √4 < √5 < √9, llavors 2 < √5 < 3. Això vol dir que el valor de l'arrel de cinc està entre dos i tres, però hi ha moltes fraccions decimals entre elles, i triar-ne cadascun és una manera dubtosa de trobar l'arrel.

Podeu fer aquesta operació amb una calculadora: aquesta és la manera més fàcil i ràpida, però a 8è mai no haureu d'extreure nombres irracionals de l'arrel quadrada aritmètica. Només cal recordar els valors aproximats de l'arrel de dos i de l'arrel de tres:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Exemples

Ara, basant-nos en les propietats de l'arrel quadrada, resoldrem diversos exemples:

1) √17² - 8²

Recordeu la fórmula per a la diferència de quadrats:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Coneixem la propietat de l'arrel aritmètica quadrada: per extreure l'arrel del producte, cal extreure-la de cada factor:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Aplica una altra propietat de l'arrel: el quadrat de l'arrel aritmètica d'un nombre és igual a aquest nombre:

2 × 3 + 6=12

Important! Sovint, quan comencen a treballar i resoldre exemples amb arrels quadrades aritmètiques, els estudiants cometen el següent error:

√12 + 3=√12 + √3: no pots fer-ho!

No podem treure l'arrel de tots els termes. No existeix aquesta regla, però es confon amb l'arrel de cada factor. Si tinguéssim aquesta entrada:

√12 × 3, llavors seria just escriure √12 × 3=√12 × √3.

I així només podem escriure:

√12 + 3=√15