Què és l'aritmètica? Quan va començar la humanitat a utilitzar els números i a treballar amb ells? On van les arrels de conceptes tan quotidians com els nombres, les fraccions, la resta, la suma i la multiplicació, que una persona ha fet part inseparable de la seva vida i visió del món? Les ments de l'antiga Grècia admiraven ciències com les matemàtiques, l'aritmètica i la geometria com les simfonies més belles de la lògica humana.
Potser l'aritmètica no és tan profunda com altres ciències, però què passaria amb ells si una persona oblidés la taula de multiplicar elemental? El pensament lògic habitual per a nos altres, utilitzant nombres, fraccions i altres eines, no va ser fàcil per a les persones i durant molt de temps va ser inaccessible als nostres avantpassats. De fet, abans del desenvolupament de l'aritmètica, cap àrea del coneixement humà era realment científica.
L'aritmètica és l'ABC de les matemàtiques
L'aritmètica és la ciència dels nombres, amb la qual qualsevol persona comença a familiaritzar-se amb el fascinant món de les matemàtiques. Com va dir M. V. Lomonosov, l'aritmètica és la porta de l'aprenentatge, que ens obre el camí al coneixement del món. Però té raóEs pot separar el coneixement del món del coneixement dels nombres i lletres, de les matemàtiques i de la parla? Potser en els vells temps, però no en el món modern, on el ràpid desenvolupament de la ciència i la tecnologia dicta les seves pròpies lleis.
La paraula "aritmètica" (grec "arithmos") d'origen grec, significa "nombre". Ella estudia els nombres i tot el que hi pot estar relacionat. Aquest és el món dels nombres: operacions diverses sobre nombres, regles numèriques, resolució de problemes relacionats amb la multiplicació, la resta, etc.
En general s'accepta que l'aritmètica és el pas inicial de les matemàtiques i una base sòlida per a les seves seccions més complexes, com ara l'àlgebra, l'anàlisi matemàtica, les matemàtiques superiors, etc.
Objecte principal de l'aritmètica
La base de l'aritmètica és un nombre enter, les propietats i patrons del qual es consideren en l'aritmètica superior o la teoria dels nombres. De fet, la força de tot l'edifici, les matemàtiques, depèn de com de correcte es prengui l'enfocament en considerar un bloc tan petit com un nombre natural.
Per tant, la pregunta de què és l'aritmètica es pot respondre simplement: és la ciència dels nombres. Sí, sobre els habituals set, nou i tota aquesta comunitat diversa. I de la mateixa manera que no es pot escriure poesia bona ni tan sols la més mediocre sense un alfabet elemental, no es pot resoldre ni tan sols un problema elemental sense aritmètica. És per això que totes les ciències van avançar només després del desenvolupament de l'aritmètica i les matemàtiques, abans d'això només eren un conjunt de supòsits.
L'aritmètica és una ciència fantasma
Què és l'aritmètica: ciència natural o fantasma? De fet, com argumentaven els filòsofs grecs antics, ni els nombres ni les figures existeixen en la realitat. Això és només un fantasma que es crea en el pensament humà quan es considera l'entorn amb els seus processos. De fet, què és un nombre? En cap lloc no veiem res semblant que es pugui anomenar nombre, més aviat, un nombre és una manera de la ment humana d'estudiar el món. O potser és l'estudi de nos altres mateixos des de dins? Els filòsofs han estat discutint sobre això durant molts segles seguits, així que no ens comprometem a donar una resposta exhaustiva. D'una manera o d'una altra, l'aritmètica ha aconseguit ocupar el seu lloc amb tanta fermesa que al món modern ningú es pot considerar adaptat socialment sense conèixer-ne els fonaments bàsics.
Com va aparèixer el nombre natural
Per descomptat, l'objecte principal sobre el qual opera l'aritmètica és un nombre natural, com ara 1, 2, 3, 4, …, 152… etc. L'aritmètica dels nombres naturals és el resultat de comptar objectes ordinaris, com les vaques en un prat. Tot i així, la definició de "molt" o "poc" va deixar de convenir a la gent i van haver d'inventar tècniques de recompte més avançades.
Però el veritable avenç es va produir quan el pensament humà va arribar al punt que és possible designar 2 quilograms i 2 maons i 2 parts amb el mateix nombre "dos". El fet és que cal abstraure's de les formes, les propietats i el significat dels objectes, llavors podeu realitzar algunes accions amb aquests objectes en forma de nombres naturals. Així va néixer l'aritmètica dels nombres, quedesenvolupat i expandint-se encara més, ocupant posicions cada cop més grans en la vida de la societat.
Conceptes tan profunds de nombre com ara zero i nombre negatiu, fraccions, designacions de nombres per nombres i d' altres maneres, tenen una història de desenvolupament rica i interessant.
Egipcis aritmètics i pràctics
Els dos companys humans més antics per explorar el món que ens envolta i resoldre problemes quotidians són l'aritmètica i la geometria.
Es creu que la història de l'aritmètica té el seu origen a l'Antic Orient: a l'Índia, Egipte, Babilònia i la Xina. Així, el papir Rinda d'origen egipci (anomenat així perquè pertanyia al propietari del mateix nom), datat del segle XX. BC, a més d' altres dades valuoses, conté l'expansió d'una fracció en la suma de fraccions amb diferents denominadors i un numerador igual a un.
Per exemple: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Però quin sentit té una descomposició tan complexa? El fet és que l'enfocament egipci no tolerava pensaments abstractes sobre els nombres, per contra, els càlculs es feien només amb finalitats pràctiques. És a dir, l'egipci es dedicarà a fer càlculs, només per construir una tomba, per exemple. Calia calcular la longitud de la vora de l'estructura, i això va obligar a una persona a seure darrere del papir. Com podeu veure, el progrés egipci en els càlculs va ser causat, més aviat, per la construcció massiva que per l'amor per la ciència.
Per aquest motiu, els càlculs que es troben als papirs no es poden anomenar reflexions sobre el tema de les fraccions. El més probable és que aquesta sigui una preparació pràctica que ajudi en el futur.resoldre problemes amb fraccions. Els antics egipcis, que no coneixien les taules de multiplicar, feien càlculs força llargs, descomposts en moltes subtasques. Potser aquesta és una d'aquestes subtasques. És fàcil veure que els càlculs amb aquestes peces són molt laboriosos i poc prometedors. Potser per aquest motiu no veiem la gran contribució de l'Antic Egipte al desenvolupament de les matemàtiques.
Antiga Grècia i aritmètica filosòfica
Molts coneixements de l'Antic Orient van ser dominats amb èxit pels antics grecs, famosos amants de les reflexions abstractes, abstractes i filosòfiques. No estaven menys interessats en la pràctica, però és difícil trobar els millors teòrics i pensadors. Això ha beneficiat la ciència, ja que és impossible aprofundir en l'aritmètica sense trencar-la amb la realitat. Per descomptat, pots multiplicar 10 vaques i 100 litres de llet, però no arribaràs gaire lluny.
Els grecs profundament pensadors van deixar una empremta important a la història i els seus escrits ens han arribat:
- Euclides i els elements.
- Pitàgores.
- Arquímedes.
- Eratòstenes.
- Zeno.
- Anaxàgores.
I, és clar, els grecs, que ho van convertir tot en filosofia, i sobretot els successors de l'obra de Pitàgores, estaven tan fascinats pels números que els consideraven el misteri de l'harmonia del món. Els nombres s'han estudiat i investigat fins a tal punt que a alguns d'ells i les seves parelles se'ls han assignat propietats especials. Per exemple:
- Els nombres perfectes són els que són iguals a la suma de tots els seus divisors, excepte el nombre en si (6=1+2+3).
- Els números amigables són aquests números, un dels qualsés igual a la suma de tots els divisors del segon, i viceversa (els pitagòrics només coneixien un d'aquests parells: 220 i 284).
Els grecs, que creien que la ciència s'havia d'estimar, i no estar amb ella per beneficis, van aconseguir un gran èxit explorant, jugant i sumant números. Cal tenir en compte que no totes les seves investigacions van ser àmpliament utilitzades, algunes d'elles van romandre només "per la bellesa".
Pensadors orientals de l'Edat Mitjana
De la mateixa manera, a l'edat mitjana, l'aritmètica deu el seu desenvolupament als contemporanis orientals. Els indis ens van donar els números que utilitzem activament, un concepte com ara "zero" i la versió posicional del càlcul, familiar a la percepció moderna. D'Al-Kashi, que va treballar a Samarcanda al segle XV, vam heretar les fraccions decimals, sense les quals és difícil imaginar l'aritmètica moderna.
En molts aspectes, el coneixement d'Europa amb els èxits d'Orient va ser possible gràcies al treball del científic italià Leonardo Fibonacci, que va escriure l'obra "El llibre de l'àbac", introduint innovacions orientals. Es va convertir en la pedra angular del desenvolupament de l'àlgebra i l'aritmètica, la recerca i les activitats científiques a Europa.
Aritmètica russa
I, finalment, l'aritmètica, que va trobar el seu lloc i va arrelar a Europa, va començar a estendre's per terres russes. La primera aritmètica russa es va publicar el 1703: era un llibre sobre aritmètica de Leonty Magnitsky. Durant molt de temps va ser l'únic llibre de text de matemàtiques. Conté els moments inicials de l'àlgebra i la geometria. Els nombres utilitzats en els exemples pel primer llibre de text d'aritmètica a Rússia són àrabs. Tot i que abans s'han vist números àrabs, en gravats que es remunten al segle XVII.
El llibre en si està decorat amb imatges d'Arquimedes i Pitàgores, i al primer full - la imatge de l'aritmètica en forma de dona. S'asseu en un tron, sota d'ella hi ha escrit en hebreu una paraula que denota el nom de Déu, i als graons que porten al tron s'inscriuen les paraules "divisió", "multiplicació", "addició", etc., veritats. que ara es consideren habituals.
Un llibre de text de 600 pàgines cobreix conceptes bàsics com les taules de sumes i multiplicacions i aplicacions a les ciències de la navegació.
No és d'estranyar que l'autor hagi triat imatges de pensadors grecs per al seu llibre, perquè ell mateix va quedar captivat per la bellesa de l'aritmètica, dient: "L'aritmètica és el numerador, hi ha art honest, poc envejable…".. Aquest enfocament de l'aritmètica està bastant justificat, perquè és la seva introducció generalitzada que es pot considerar l'inici del ràpid desenvolupament del pensament científic a Rússia i l'educació general.
primers primers
Un nombre primer és un nombre natural que només té 2 divisors positius: 1 i ell mateix. Tots els altres nombres, excepte l'1, s'anomenen compostos. Exemples de nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11 i tots els altres que no tinguin divisors més que l'1 i ell mateix.
Pel que fa al número 1, és per un compte especial: hi ha un acord que no s'ha de considerar ni simple ni compost. Simple a primera vista, un número simple amaga molts misteris sense resoldre dins de si mateix.
El teorema d'Euclides diu que hi ha un nombre infinit de nombres primers, i Eratòstenes va inventar un "tamís" aritmètic especial que elimina els nombres no primers, deixant només els simples.
La seva essència és subratllar el primer nombre no ratllat i, posteriorment, ratllar els que en són múltiples. Repetim aquest procediment moltes vegades i obtenim una taula de nombres primers.
El teorema fonamental de l'aritmètica
Entre les observacions sobre nombres primers, cal esmentar de manera especial el teorema fonamental de l'aritmètica.
El teorema fonamental de l'aritmètica diu que qualsevol nombre enter superior a 1 és primer o es pot descompondre en un producte de nombres primers fins a l'ordre dels factors, i d'una manera única.
El teorema principal de l'aritmètica s'ha demostrat bastant feixuc i entendre'l ja no sembla els conceptes bàsics més simples.
A primera vista, els nombres primers són un concepte elemental, però no ho són. La física també va considerar una vegada que l'àtom era elemental, fins que va trobar tot l'univers al seu interior. Una història meravellosa del matemàtic Don Tzagir "Els primers cinquanta milions de primers" està dedicada als nombres primers.
De "tres pomes" a lleis deductives
El que realment es pot anomenar el fonament reforçat de tota ciència són les lleis de l'aritmètica. Fins i tot a la infància, tothom s'enfronta a l'aritmètica, estudiant el nombre de cames i braços de nines,el nombre de cubs, pomes, etc. Així és com estudiem l'aritmètica, que després passa a regles més complexes.
Tota la nostra vida ens familiaritza amb les regles de l'aritmètica, que s'han convertit per a l'home comú en la més útil de totes les que dóna la ciència. L'estudi dels nombres és "aritmètica-nadó", que introdueix una persona al món dels nombres en forma de nombres a la primera infància.
L'aritmètica superior és una ciència deductiva que estudia les lleis de l'aritmètica. Coneixem la majoria d'ells, tot i que potser no coneixem la seva redacció exacta.
La llei de la suma i la multiplicació
Dos nombres naturals a i b es poden expressar com a suma a+b, que també serà un nombre natural. Les lleis següents s'apliquen a l'addició:
- Commutatiu, que diu que la suma no canvia de la reordenació dels termes, o a+b=b+a.
- Associativa, que diu que la suma no depèn de la manera com s'agrupin els termes en llocs, o a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Les regles de l'aritmètica, com ara la suma, es troben entre les més elementals, però són utilitzades per totes les ciències, per no parlar de la vida quotidiana.
Dos nombres naturals a i b es poden expressar com a producte ab o ab, que també és un nombre natural. Al producte s'apliquen les mateixes lleis commutatives i associatives que a la suma:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Em preguntoque hi ha una llei que uneix la suma i la multiplicació, també anomenada llei distributiva o distributiva:
a(b+c)=ab+ac
Aquesta llei ens ensenya a treballar amb claudàtors ampliant-los, així podem treballar amb fórmules més complexes. Aquestes són les lleis que ens guiaran pel estrany i complex món de l'àlgebra.
La llei de l'ordre aritmètic
La lògica humana utilitza la llei de l'ordre cada dia, comparant rellotges i comptant bitllets. I, tanmateix, cal formalitzar-lo en forma de formulacions específiques.
Si tenim dos nombres naturals a i b, les opcions següents són possibles:
- a és igual a b, o a=b;
- a és inferior a b, o a < b;
- a és més gran que b, o a > b.
D'entre tres opcions, només una pot ser justa. La llei bàsica que regeix l'ordre diu: si a < b i b < c, aleshores a< c.
També hi ha lleis relacionades amb l'ordre de la multiplicació i la suma: si a< és b, aleshores a + c < b+c i ac< bc.
Les lleis de l'aritmètica ens ensenyen a treballar amb nombres, signes i claudàtors, convertint-ho tot en una harmoniosa simfonia de nombres.
Càlcul posicional i no posicional
Es pot dir que els nombres són un llenguatge matemàtic, de la conveniència del qual depèn molt. Hi ha molts sistemes de numeració que, com els alfabets de diferents idiomes, difereixen entre si.
Considerem els sistemes numèrics des del punt de vista de la influència de la posició en el valor quantitatiunúmeros en aquesta posició. Així, per exemple, el sistema romà és no posicional, on cada nombre està codificat per un determinat conjunt de caràcters especials: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Són iguals, respectivament, als nombres 1. / 5/10/50/100/500/ 1000. En aquest sistema, el nombre no canvia la seva definició quantitativa en funció de la posició en què es trobi: primer, segon, etc. Per obtenir altres números, cal afegir els de base. Per exemple:
- DCC=700.
- CCM=800.
El sistema de numeració més conegut per a nos altres amb números àrabs és posicional. En aquest sistema, el dígit d'un nombre determina el nombre de dígits, per exemple, números de tres dígits: 333, 567, etc. El pes de qualsevol dígit depèn de la posició en què es troba aquest o aquell dígit, per exemple, el número 8 a la segona posició té un valor de 80. Això és típic per al sistema decimal, hi ha altres sistemes posicionals, per exemple, binari.
Aritmètica binària
Estem familiaritzats amb el sistema decimal, que consta de nombres d'una sola xifra i de diversos dígits. El nombre de l'esquerra d'un nombre de diversos dígits és deu vegades més significatiu que el de la dreta. Per tant, estem acostumats a llegir 2, 17, 467, etc. La secció anomenada "aritmètica binària" té una lògica i un enfocament completament diferents. Això no és sorprenent, perquè l'aritmètica binària no es va crear per a la lògica humana, sinó per a la lògica informàtica. Si l'aritmètica dels nombres es va originar a partir del recompte d'objectes, que es va abstreure encara més de les propietats de l'objecte per a l'aritmètica "nuda", aleshores això no funcionarà amb un ordinador. Per poder compartiramb els seus coneixements d'ordinador, una persona va haver d'inventar aquest model de càlcul.
L'aritmètica binària funciona amb l'alfabet binari, que consta només de 0 i 1. I l'ús d'aquest alfabet s'anomena sistema binari.
La diferència entre l'aritmètica binària i l'aritmètica decimal és que el significat de la posició de l'esquerra ja no és 10, sinó 2 vegades. Els nombres binaris tenen la forma 111, 1001, etc. Com entendre aquests nombres? Per tant, considereu el número 1100:
- El primer dígit de l'esquerra és 18=8, recordant que el quart dígit, que vol dir que s'ha de multiplicar per 2, obtenim la posició 8.
- Segon dígit 14=4 (posició 4).
- Tercer dígit 02=0 (posició 2).
- Quart dígit 01=0 (posició 1).
- Així que el nostre número és 1100=8+4+0+0=12.
És a dir, quan es mou a un dígit nou a l'esquerra, la seva importància en el sistema binari es multiplica per 2, i en decimal - per 10. Aquest sistema té un negatiu: és un augment massa gran de xifres necessàries per escriure nombres. A la taula següent es poden trobar exemples de representació de nombres decimals com a nombres binaris.
Els nombres decimals en forma binària es mostren a continuació.
També s'utilitzen sistemes octal i hexadecimal.
Aquesta misteriosa aritmètica
Què és l'aritmètica, "dos cops dos" o misteris inexplorats dels nombres? Com podeu veure, l'aritmètica pot semblar senzilla a primera vista, però la seva facilitat poc òbvia és enganyosa. També pot ser estudiat pels nens juntament amb la tieta Mussol dedibuixos animats "Arithmetic-bebé", i pots submergir-te en una investigació profundament científica d'ordre gairebé filosòfic. En la història, ha passat de comptar objectes a adorar la bellesa dels números. Només se sap amb certesa una cosa: amb l'establiment dels postulats bàsics de l'aritmètica, tota la ciència pot confiar en la seva forta espatlla.
