Alguns problemes matemàtics requereixen la capacitat de calcular l'arrel quadrada. Aquests problemes inclouen la resolució d'equacions de segon ordre. En aquest article, presentem un mètode eficaç per calcular arrels quadrades i l'utilitzem quan treballem amb fórmules per a les arrels d'una equació quadràtica.
Què és una arrel quadrada?
En matemàtiques, aquest concepte correspon al símbol √. Les dades històriques diuen que es va començar a utilitzar per primera vegada cap a la primera meitat del segle XVI a Alemanya (la primera obra alemanya sobre àlgebra de Christoph Rudolf). Els científics creuen que aquest símbol és una lletra llatina transformada r (radix significa "arrel" en llatí).
L'arrel de qualsevol nombre és igual a aquest valor, el quadrat del qual correspon a l'expressió arrel. En el llenguatge de les matemàtiques, aquesta definició serà així: √x=y si y2=x.
L'arrel d'un nombre positiu (x > 0) també ésun nombre positiu (y > 0), però si l'arrel es treu d'un nombre negatiu (x < 0), el resultat ja serà un nombre complex, inclosa la unitat imaginària i.
Aquí teniu dos exemples senzills:
√9=3 perquè 32 =9; √(-9)=3i perquè i2=-1.
Fórmula iterativa d'Heron per trobar arrels quadrades
Els exemples anteriors són molt senzills i calcular-hi les arrels no és difícil. Les dificultats ja comencen a aparèixer en trobar els valors arrel de qualsevol valor que no es pugui representar com un quadrat d'un nombre natural, per exemple √10, √11, √12, √13, sense oblidar el fet que a la pràctica és necessari trobar arrels per a nombres no enters: per exemple √(12, 15), √(8, 5) i així successivament.
En tots els casos anteriors, s'ha d'utilitzar un mètode especial per calcular l'arrel quadrada. Actualment, es coneixen diversos mètodes d'aquest tipus: per exemple, l'expansió en una sèrie de Taylor, la divisió per una columna i alguns altres. De tots els mètodes coneguts, potser el més senzill i eficaç és l'ús de la fórmula iterativa d'Heron, que també es coneix com a mètode babilònic per determinar les arrels quadrades (hi ha proves que els antics babilonis l'utilitzaven en els seus càlculs pràctics).
Sigui necessari determinar el valor de √x. La fórmula per trobar l'arrel quadrada és la següent:
an+1=1/2(a+x/a), on limn->∞(a)=> x.
Desxifra aquesta notació matemàtica. Per calcular √x, hauríeu de prendre algun número a0 (pot ser arbitrari, però per obtenir un resultat ràpid, haureu de triar-lo de manera que (a0) 2 era el més proper possible a x, després substituïu-lo a la fórmula d'arrel quadrada especificada i obteniu un número nou a1, que ja serà estar més a prop del valor desitjat. Cal substituir a1 a l'expressió i obtenir un2 Aquest procediment s'ha de repetir fins que s'obtingui la precisió requerida.
Un exemple d'aplicació de la fórmula iterativa d'Heron
L'algorisme descrit anteriorment per obtenir l'arrel quadrada d'un nombre donat pot semblar bastant complicat i confús per a molts, però en realitat tot resulta molt més senzill, ja que aquesta fórmula convergeix molt ràpidament (sobretot si un nombre afortunat s'escull un 0).
Prenguem un exemple senzill: hem de calcular √11. Triem un 0=3, ja que 32=9, que és més proper a 11 que 42=16. Substituint a la fórmula, obtenim:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
No té sentit continuar amb els càlculs, ja que hem obtingut que a2 i a3 comencen a diferir només en el cinquè decimal lloc. Per tant, n'hi havia prou amb aplicar només 2 vegades la fórmulacalculeu √11 fins a 0,0001.
Actualment, les calculadores i els ordinadors s'utilitzen àmpliament per calcular arrels, però, és útil recordar la fórmula marcada per poder calcular-ne manualment el valor exacte.
Equacions de segon ordre
Comprendre què és una arrel quadrada i la capacitat de calcular-la s'utilitza per resoldre equacions de segon grau. Aquestes equacions són igu altats amb una incògnita, la forma general de les quals es mostra a la figura següent.
Aquí c, b i a són alguns nombres, i a no ha de ser igual a zero, i els valors de c i b poden ser completament arbitraris, inclòs zero.
Qualsevol valor de x que compleixi la igu altat indicada a la figura s'anomena arrel (aquest concepte no s'ha de confondre amb l'arrel quadrada √). Com que l'equació considerada té el segon ordre (x2), no hi pot haver més de dos nombres per a les seves arrels. Vegem com trobar aquestes arrels més endavant a l'article.
Trobar les arrels d'una equació de segon grau (fórmula)
Aquest mètode de resolució del tipus d'igu altats considerat també s'anomena universal, o el mètode mitjançant el discriminant. Es pot aplicar a qualsevol equació de segon grau. La fórmula per al discriminant i les arrels de l'equació de segon grau és la següent:
Mostra que les arrels depenen del valor de cadascun dels tres coeficients de l'equació. A més, el càlculx1 difereix del càlcul x2 només pel signe anterior a l'arrel quadrada. L'expressió radical, que és igual a b2 - 4ac, no és més que el discriminant de la igu altat considerada. El discriminant de la fórmula de les arrels d'una equació de segon grau té un paper important perquè determina el nombre i el tipus de solucions. Per tant, si és zero, només hi haurà una solució, si és positiva, aleshores l'equació té dues arrels reals, finalment, el discriminant negatiu condueix a dues arrels complexes x1 i x 2.
Teorema de Vieta o algunes propietats de les arrels d'equacions de segon ordre
A finals del segle XVI, un dels fundadors de l'àlgebra moderna, el francès Francois Viet, estudiant equacions de segon ordre, va poder obtenir les propietats de les seves arrels. Matemàticament, es poden escriure així:
x1 + x2=-b / a i x1 x 2=c / a.
Ambdues igu altats les pot obtenir fàcilment qualsevol, per a això només cal realitzar les operacions matemàtiques adequades amb les arrels obtingudes mitjançant la fórmula amb el discriminant.
La combinació d'aquestes dues expressions es pot anomenar amb raó la segona fórmula de les arrels d'una equació de segon grau, que permet endevinar les seves solucions sense utilitzar el discriminant. Cal tenir en compte aquí que tot i que ambdues expressions són sempre vàlides, és convenient utilitzar-les per resoldre una equació només si es pot factoritzar.
La tasca de consolidar els coneixements adquirits
Resolvem un problema matemàtic en el qual demostrarem totes les tècniques comentades a l'article. Les condicions del problema són les següents: heu de trobar dos nombres per als quals el producte sigui -13 i la suma sigui 4.
Aquesta condició recorda immediatament el teorema de Vieta, aplicant les fórmules per a la suma d'arrels quadrades i el seu producte, escrivim:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Suposant a=1, aleshores b=-4 i c=-13. Aquests coeficients ens permeten escriure una equació de segon ordre:
x2 - 4x - 13=0.
Utilitzeu la fórmula amb el discriminant, obtenim les arrels següents:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
És a dir, la tasca es va reduir a trobar el nombre √68. Tingueu en compte que 68=417, llavors utilitzant la propietat de l'arrel quadrada, obtenim: √68=2√17.
Ara utilitzem la fórmula d'arrel quadrada considerada: a0=4, llavors:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
No cal calcular a3 perquè els valors trobats només difereixen en 0,02. Així, √68=8,246. Substituint-lo a la fórmula de x 1, 2, obtenim:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 i x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Com podeu veure, la suma dels nombres trobats és efectivament 4, però si trobeu el seu producte, serà igual a -12,999, que compleix la condició del problema amb una precisió de 0,001.
