Matrix és un objecte especial en matemàtiques. Es representa en forma de taula rectangular o quadrada, composta per un nombre determinat de files i columnes. En matemàtiques, hi ha una gran varietat de tipus de matrius, que es diferencien en mida o contingut. Els números de les seves files i columnes s'anomenen ordres. Aquests objectes s'utilitzen en matemàtiques per organitzar l'escriptura de sistemes d'equacions lineals i cercar convenientment els seus resultats. Les equacions mitjançant una matriu es resolen utilitzant el mètode de Carl Gauss, Gabriel Cramer, addicions menors i algebraiques, i moltes altres maneres. L'habilitat bàsica quan es treballa amb matrius és portar-les a una forma estàndard. Tanmateix, primer, anem a esbrinar quins tipus de matrius distingeixen els matemàtics.
Tipus nul
Tots els components d'aquest tipus de matriu són zeros. Mentrestant, el nombre de les seves files i columnes és completament diferent.
Tipus quadrat
El nombre de columnes i files d'aquest tipus de matriu és el mateix. En altres paraules, és una taula de forma "quadrada". El nombre de les seves columnes (o files) s'anomena ordre. Els casos especials són l'existència d'una matriu de segon ordre (matriu 2x2), quart ordre (4x4), dècima (10x10), dissetena (17x17) i així successivament.
Vector columna
Aquest és un dels tipus de matrius més senzills, que conté només una columna, que inclou tres valors numèrics. Representa una sèrie de termes lliures (nombres independents de variables) en sistemes d'equacions lineals.
Vector fila
Vista semblant a l'anterior. Consta de tres elements numèrics, al seu torn organitzats en una línia.
Tipus diagonal
Només els components de la diagonal principal (ress altats en verd) prenen valors numèrics en forma diagonal de la matriu. La diagonal principal comença amb l'element a la cantonada superior esquerra i acaba amb l'element a la part inferior dreta, respectivament. La resta de components són zero. El tipus diagonal és només una matriu quadrada d'algun ordre. Entre les matrius de forma diagonal, se'n pot destacar una escalar. Tots els seus components prenen els mateixos valors.
Matriu d'identitat
Una subespècie de la matriu diagonal. Tots els seus valors numèrics són unitats. Utilitzant un únic tipus de taules matricials, realitzeu les seves transformacions bàsiques o trobeu una matriu inversa a l'original.
Tipus canònic
La forma canònica d'una matriu es considera una de les principals; Sovint cal fer-hi fosa per funcionar. El nombre de files i columnes de la matriu canònica és diferent, no necessàriament pertany al tipus quadrat. És una mica similar a la matriu d'identitat, però, en el seu cas, no tots els components de la diagonal principal prenen un valor igual a un. Hi pot haver dues o quatre unitats diagonals principals (tot depèn de la longitud i l'amplada de la matriu). O pot ser que no hi hagi unitats (aleshores es considera zero). La resta de components del tipus canònic, així com els elements de la diagonal i la identitat, són iguals a zero.
Tipus de triangle
Un dels tipus de matriu més importants, s'utilitza a l'hora de cercar el seu determinant i a l'hora de realitzar operacions senzilles. El tipus triangular prové del tipus diagonal, de manera que la matriu també és quadrada. La vista triangular de la matriu es divideix en triangular superior i triangular inferior.
A la matriu triangular superior (Fig. 1), només els elements que estan per sobre de la diagonal principal prenen un valor igual a zero. Els components de la pròpia diagonal i la part de la matriu que hi ha a sota contenen valors numèrics.
A la matriu triangular inferior (Fig. 2), en canvi, els elements situats a la part inferior de la matriu són iguals a zero.
Matriu de passos
La vista és necessària per trobar el rang d'una matriu, així com per a operacions elementals sobre elles (juntament amb el tipus triangular). La matriu de passos s'anomena així perquè conté "passos" característics de zeros (com es mostra a la figura). En el tipus esglaonat, es forma una diagonal de zeros (no necessàriament la principal), i tots els elements sota aquesta diagonal també tenen valors iguals a zero. Un requisit previ és el següent: si hi ha una fila zero a la matriu de passos, les files restants per sota tampoc no contenen valors numèrics.
Així, hem considerat els tipus de matrius més importants necessàries per treballar-hi. Ara ens ocuparem de la tasca de convertir una matriu a la forma necessària.
Redueix a forma triangular
Com portar la matriu a una forma triangular? Molt sovint, a les tasques, cal convertir una matriu en una forma triangular per trobar el seu determinant, també anomenat determinant. Quan es realitza aquest procediment, és extremadament important "preservar" la diagonal principal de la matriu, perquè el determinant d'una matriu triangular és exactament el producte dels components de la seva diagonal principal. També us recordo mètodes alternatius per trobar el determinant. El determinant de tipus quadrat es troba mitjançant fórmules especials. Per exemple, podeu utilitzar el mètode del triangle. Per a altres matrius, s'utilitza el mètode de descomposició per fila, columna o els seus elements. També pots aplicar el mètode de menors i complements algebraics de la matriu.
DetallsAnalitzem el procés de portar una matriu a una forma triangular utilitzant exemples d'algunes tasques.
Tasca 1
Cal trobar el determinant de la matriu presentada, utilitzant el mètode de portar-la a una forma triangular.
La matriu que se'ns dona és una matriu quadrada de tercer ordre. Per tant, per transformar-la en una forma triangular, hem d'anul·lar dos components de la primera columna i un component de la segona.
Per portar-lo a una forma triangular, inicieu la transformació des de l'angle inferior esquerre de la matriu, des del número 6. Per convertir-lo a zero, multipliqueu la primera fila per tres i resteu-la de l'última fila.
Important! La línia superior no canvia, però segueix sent la mateixa que a la matriu original. No cal escriure una cadena quatre vegades l'original. Però els valors de les cadenes els components de les quals s'han d'anul·lar estan canviant constantment.
A continuació, tractem el següent valor: l'element de la segona fila de la primera columna, número 8. Multipliqueu la primera fila per quatre i resteu-la de la segona fila. Tenim zero.
Només queda l'últim valor: l'element de la tercera fila de la segona columna. Aquest és el número (-1). Per convertir-lo a zero, resta el segon de la primera línia.
Comprovem:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Així que la resposta a la tasca és -22.
Tasca 2
Hem de trobar el determinant de la matriu portant-lo a una forma triangular.
Matriu representadapertany al tipus quadrat i és una matriu de quart ordre. Això vol dir que s'han de posar a zero tres components de la primera columna, dos components de la segona columna i un component de la tercera columna.
Comencem la seva reducció des de l'element situat a la cantonada inferior esquerra, des del número 4. Hem de convertir aquest nombre a zero. La manera més senzilla de fer-ho és multiplicar la fila superior per quatre i després restar-la de la quarta fila. Anotem el resultat de la primera etapa de la transformació.
Així, el component de la quarta línia s'estableix a zero. Passem al primer element de la tercera línia, al número 3. Realitzem una operació semblant. Multiplica per tres la primera línia, resta-la de la tercera línia i escriu el resultat.
A continuació, veiem el número 2 a la segona línia. Repetim l'operació: multipliquem per dos la fila superior i la restarem a la segona.
Hem aconseguit posar a zero tots els components de la primera columna d'aquesta matriu quadrada, excepte el número 1, l'element de la diagonal principal que no requereix transformació. Ara és important mantenir els zeros resultants, així que realitzarem transformacions amb files, no columnes. Passem a la segona columna de la matriu presentada.
Comencem de nou des de la part inferior, des de l'element de la segona columna de l'última fila. Aquest és el nombre (-7). Tanmateix, en aquest cas, és més convenient començar amb el número (-1), l'element de la segona columna de la tercera fila. Per convertir-lo a zero, resteu la segona fila de la tercera fila. Aleshores multipliquem la segona fila per set i la restem de la quarta. Hem obtingut zero en lloc de l'element situat a la quarta fila de la segona columna. Ara passem al tercercolumna.
En aquesta columna, només hem de convertir a zero un número: el 4. És fàcil de fer: només cal afegir el tercer a l'última línia i veure el zero que necessitem.
Després de totes les transformacions, vam portar la matriu proposada a una forma triangular. Ara, per trobar el seu determinant, només cal multiplicar els elements resultants de la diagonal principal. Obtenim: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Per tant, la solució és el nombre 160.
Així que ara la qüestió de portar la matriu a una forma triangular no us ho farà difícil.
Reducció a la forma esglaonada
En les operacions elementals sobre matrius, la forma escalonada és menys "demanada" que la triangular. S'utilitza més habitualment per trobar el rang d'una matriu (és a dir, el nombre de les seves files diferents de zero) o per determinar files dependents i independents linealment. Tanmateix, la vista de matriu esglaonada és més versàtil, ja que és adequada no només per al tipus quadrat, sinó per a tots els altres.
Per reduir una matriu a una forma esglaonada, primer cal trobar-ne el determinant. Per a això, els mètodes anteriors són adequats. El propòsit de trobar el determinant és esbrinar si es pot convertir en una matriu de passos. Si el determinant és més gran o menor que zero, podeu continuar amb la tasca amb seguretat. Si és igual a zero, no funcionarà reduir la matriu a una forma escalonada. En aquest cas, cal comprovar si hi ha errors en el registre o en les transformacions de matriu. Si no hi ha aquestes imprecisions, la tasca no es pot resoldre.
Anem a veure comportar la matriu a una forma escalonada utilitzant exemples de diverses tasques.
Tasca 1. Trobeu el rang de la taula matricial donada.
Davant nostre hi ha una matriu quadrada de tercer ordre (3x3). Sabem que per trobar el rang, cal reduir-lo a una forma esglaonada. Per tant, primer hem de trobar el determinant de la matriu. Utilitzant el mètode del triangle: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. És més gran que zero, la qual cosa significa que la matriu es pot reduir a una forma escalonada. Comencem les seves transformacions.
Comencem amb l'element de la columna esquerra de la tercera fila: el número 2. Multipliqueu la fila superior per dos i resteu-la de la tercera. Gràcies a aquesta operació, tant l'element que necessitem com el número 4, l'element de la segona columna de la tercera fila, es van convertir en zero.
A continuació, gireu a zero l'element de la segona fila de la primera columna, el número 3. Per fer-ho, multipliqueu per tres la fila superior i resteu-la de la segona.
Veiem que la reducció va donar lloc a una matriu triangular. En el nostre cas, la transformació no es pot continuar, ja que els components restants no es poden convertir a zero.
Per tant, concloem que el nombre de files que contenen valors numèrics en aquesta matriu (o el seu rang) és 3. Resposta a la tasca: 3.
Tasca 2. Determinar el nombre de files linealment independents d'aquesta matriu.
Hem de trobar cadenes que no es puguin revertir amb cap transformacióa zero. De fet, hem de trobar el nombre de files diferents de zero, o el rang de la matriu representada. Per fer-ho, simplifiquem-ho.
Veiem una matriu que no pertany al tipus quadrat. Té unes dimensions 3x4. Comencem també el repartiment des de l'element de la cantonada inferior esquerra: el número (-1).
Afegiu la primera línia a la tercera. A continuació, resteu-ne el segon per convertir el número 5 en zero.
Més transformacions són impossibles. Per tant, concloem que el nombre de línies linealment independents i la resposta a la tasca és 3.
Ara portar la matriu a una forma esglaonada no és una tasca impossible per a tu.
En els exemples d'aquestes tasques, hem analitzat la reducció d'una matriu a una forma triangular i una forma esglaonada. Per anul·lar els valors desitjats de les taules matricials, en alguns casos cal mostrar imaginació i transformar correctament les seves columnes o files. Molta sort en matemàtiques i treballant amb matrius!
