Matrius: mètode de Gauss. Càlcul de la matriu de Gauss: exemples

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 05:19

Àlgebra lineal, que s'imparteix a les universitats en diverses especialitats, combina molts temes complexos. Alguns d'ells estan relacionats amb matrius, així com amb la solució de sistemes d'equacions lineals pels mètodes de Gauss i Gauss-Jordan. No tots els estudiants aconsegueixen entendre aquests temes, algorismes per resoldre problemes diversos. Entenem junts les matrius i els mètodes de Gauss i Gauss-Jordan.

Conceptes bàsics

Una matriu en àlgebra lineal és una matriu rectangular d'elements (taula). A continuació es mostren conjunts d'elements tancats entre parèntesis. Aquestes són matrius. A partir de l'exemple anterior, es pot veure que els elements en matrius rectangulars no són només números. La matriu pot constar de funcions matemàtiques, símbols algebraics.

Per entendre alguns conceptes, fem una matriu A a partir dels elements a_ij. Els índexs no són només lletres: i és el número de la fila de la taula, i j és el nombre de la columna, a l'àrea de la intersecció de la qual es troba l'elementa_ij. Així doncs, veiem que tenim una matriu d'elements com ara a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ i així successivament. La lletra n indica el nombre de columnes i la lletra m el nombre de files. El símbol m × n denota la dimensió de la matriu. Aquest és el concepte que defineix el nombre de files i columnes en una matriu rectangular d'elements.

Opcionalment, la matriu ha de tenir diverses columnes i files. Amb una dimensió d'1 × n, la matriu d'elements és d'una sola fila, i amb una dimensió de m × 1, és una matriu d'una sola columna. Quan el nombre de files i el nombre de columnes són iguals, la matriu s'anomena quadrada. Tota matriu quadrada té un determinant (det A). Aquest terme fa referència al número que s'assigna a la matriu A.

Uns quants conceptes més importants a recordar per resoldre amb èxit les matrius són les diagonals principal i secundària. La diagonal principal d'una matriu és la diagonal que baixa a la cantonada dreta de la taula des de la cantonada superior esquerra. La diagonal lateral va cap a l'extrem dret cap amunt des de l'esquerra des de la part inferior.

Visualització de matriu escalonada

Mireu la imatge de sota. Hi veureu una matriu i un diagrama. Tractem primer amb la matriu. En àlgebra lineal, una matriu d'aquest tipus s'anomena matriu de passos. Té una propietat: si a_ij és el primer element diferent de zero de la fila i, aleshores tots els altres elements de la matriu de sota ia l'esquerra d'a_ij , són nuls (és a dir, tots aquells elements als quals es pot donar la designació de lletra a_kl, on k>i il<j).

Ara considereu el diagrama. Reflecteix la forma escalonada de la matriu. L'esquema mostra 3 tipus de cèl·lules. Cada tipus denota certs elements:

cel·les buides: zero elements de la matriu;
cel·les ombrejades són elements arbitraris que poden ser zero i diferents de zero;
els quadrats negres són elements diferents de zero, que s'anomenen elements cantoners, "passos" (a la matriu que es mostra al costat, aquests elements són els números –1, 5, 3, 8).

En resoldre matrius, de vegades el resultat és que la "longitud" del pas és superior a 1. Això està permès. Només importa l'"alçada" dels graons. En una matriu de passos, aquest paràmetre ha de ser sempre igual a un.

Reducció de la matriu al formulari de pas

Qualsevol matriu rectangular es pot convertir en una forma esglaonada. Això es fa mitjançant transformacions elementals. Inclouen:

reordenar les cadenes;
Afegir una altra línia a una línia, si cal multiplicada per algun nombre (també podeu fer una operació de resta).

Considerem transformacions elementals per resoldre un problema concret. La figura següent mostra la matriu A, que s'ha de reduir a una forma esglaonada.

El problema de reduir una matriu a una forma escalonada

Per resoldre el problema, seguirem l'algorisme:

És convenient realitzar transformacions en una matriu ambel primer element de la cantonada superior esquerra (és a dir, l'element "principal") és 1 o -1. En el nostre cas, el primer element de la fila superior és 2, així que intercanviem la primera i la segona fila.
Fem operacions de resta, afectant les files 2, 3 i 4. Hauríem d'obtenir zeros a la primera columna sota l'element "principal". Per aconseguir aquest resultat: dels elements de la recta núm. 2, restem seqüencialment els elements de la línia núm. 1, multiplicats per 2; dels elements de la línia no 3 restem seqüencialment els elements de la línia no 1, multiplicats per 4; dels elements de la línia núm. 4 restem seqüencialment els elements de la línia núm. 1.
A continuació, treballarem amb una matriu truncada (sense columna 1 i sense fila 1). El nou element "principal", situat a la intersecció de la segona columna i la segona fila, és igual a -1. No cal reorganitzar les línies, de manera que tornem a escriure la primera columna i la primera i la segona fila sense canvis. Fem operacions de resta per tal d'obtenir zeros a la segona columna sota l'element "principal": dels elements de la tercera línia restem seqüencialment els elements de la segona línia, multiplicats per 3; resta els elements de la segona línia multiplicats per 2 dels elements de la quarta línia.
Queda per canviar l'última línia. Dels seus elements restem successivament els elements de la tercera fila. Així, hem obtingut una matriu esglaonada.

La reducció de matrius a una forma de pas s'utilitza per resoldre sistemes d'equacions lineals (SLE) pel mètode de Gauss. Abans de mirar aquest mètode, entenem alguns dels termes relacionats amb SLN.

Matrius i sistemes d'equacions lineals

Les matrius s'utilitzen en diverses ciències. Utilitzant taules de nombres, podeu, per exemple, resoldre equacions lineals combinades en un sistema mitjançant el mètode de Gauss. Primer, familiaritzem-nos amb uns quants termes i les seves definicions, i també veurem com es forma una matriu a partir d'un sistema que combina diverses equacions lineals.

SLU – diverses equacions algebraiques combinades amb incògnites de primera potència i sense termes de producte.

Solució

SLE: es troben valors d'incògnites, substituint els quals les equacions del sistema es converteixen en identitats.

Un SLE conjunt és un sistema d'equacions que té almenys una solució.

SLE inconsistent és un sistema d'equacions que no té solucions.

Com es forma una matriu a partir d'un sistema que combina equacions lineals? Hi ha conceptes com les matrius principals i esteses del sistema. Per obtenir la matriu principal del sistema, cal posar a la taula tots els coeficients de les incògnites. La matriu expandida s'obté afegint una columna de termes lliures a la matriu principal (inclou elements coneguts als quals s'equipara cada equació del sistema). Podeu entendre tot aquest procés si estudieu la imatge següent.

El primer que veiem a la imatge és un sistema que inclou equacions lineals. Els seus elements: a_ij – coeficients numèrics, x_j – valors desconeguts, b_i – termes constants (on i=1, 2, …, m i j=1, 2, …, n). El segon element de la imatge és la matriu principal de coeficients. A partir de cada equació, els coeficients s'escriuen en fila. Com a resultat, hi ha tantes files a la matriu com equacions hi ha al sistema. El nombre de columnes és igual al nombre més gran de coeficients de qualsevol equació. El tercer element de la imatge és una matriu augmentada amb una columna de termes lliures.

Informació general sobre el mètode Gauss

En àlgebra lineal, el mètode de Gauss és la forma clàssica de resoldre el SLE. Porta el nom de Carl Friedrich Gauss, que va viure als segles XVIII-XIX. Aquest és un dels matemàtics més grans de tots els temps. L'essència del mètode de Gauss és realitzar transformacions elementals en un sistema d'equacions algebraiques lineals. Amb l'ajuda de transformacions, l'SLE es redueix a un sistema equivalent de forma triangular (esglaonada), a partir del qual es poden trobar totes les variables.

Val la pena assenyalar que Carl Friedrich Gauss no és el descobridor del mètode clàssic per resoldre un sistema d'equacions lineals. El mètode es va inventar molt abans. La seva primera descripció es troba a l'enciclopèdia del coneixement dels antics matemàtics xinesos, anomenada "Matemàtiques en 9 llibres".

Un exemple de resolució del SLE pel mètode de Gauss

Considerem la solució de sistemes pel mètode de Gauss en un exemple concret. Treballarem amb la SLU que es mostra a la imatge.

Algorisme de resolució:

Reduirem el sistema a una forma de pas mitjançant el moviment directe del mètode de Gauss, però primercompondrem una matriu ampliada de coeficients numèrics i membres lliures.
Per resoldre la matriu mitjançant el mètode gaussià (és a dir, portar-la a una forma esglaonada), dels elements de la segona i la tercera fila, restem seqüencialment els elements de la primera fila. Obtenim zeros a la primera columna sota l'element "principal". A continuació, canviarem la segona i la tercera línia en llocs per comoditat. Als elements de l'última fila, sumeu seqüencialment els elements de la segona fila, multiplicats per 3.
Com a resultat del càlcul de la matriu pel mètode de Gauss, vam obtenir una matriu d'elements escalonats. A partir d'això, compondrem un nou sistema d'equacions lineals. Amb el curs invers del mètode de Gauss, trobem els valors dels termes desconeguts. A l'última equació lineal es pot veure que x₃ és igual a 1. Substituïm aquest valor a la segona línia del sistema. S'obté l'equació x₂ – 4=–4. Es dedueix que x₂ és igual a 0. Substituïu x₂ i x₃ a la primera equació del sistema: x1 _{+ 0 +3=2. El terme desconegut és -1.}

Resposta: utilitzant la matriu, el mètode gaussià, hem trobat els valors de les incògnites; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Mètode Gauss-Jordan

En l'àlgebra lineal també hi ha el mètode de Gauss-Jordan. Es considera una modificació del mètode gaussià i s'utilitza per trobar la matriu inversa, calcular termes desconeguts de sistemes quadrats d'equacions lineals algebraiques. El mètode Gauss-Jordan és convenient perquè permet resoldre l'SLE en un sol pas (sense l'ús de directs i inversos).moviments).

Comencem amb el terme "matriu inversa". Suposem que tenim una matriu A. La inversa serà la matriu A^-1, mentre que la condició es compleix necessàriament: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, és a dir, el producte d'aquestes matrius és igual a la matriu d'identitat (els elements de la diagonal principal de la matriu d'identitat són uns i els elements restants són zero).}

Un matís important: en àlgebra lineal hi ha un teorema sobre l'existència d'una matriu inversa. Una condició suficient i necessària per a l'existència de la matriu A^-1 és que la matriu A sigui no singular.

Passos bàsics en què es basa el mètode Gauss-Jordan:

Mireu la primera fila d'una matriu concreta. El mètode Gauss-Jordan es pot iniciar si el primer valor no és igual a zero. Si el primer lloc és 0, canvieu les files de manera que el primer element tingui un valor diferent de zero (és desitjable que el nombre estigui més a prop d'un).
Divideix tots els elements de la primera fila pel primer nombre. Acabaràs amb una cadena que comença per una.
De la segona línia, resteu la primera línia multiplicada pel primer element de la segona línia, és a dir, al final obtindreu una línia que comença de zero. Feu el mateix per a la resta de línies. Dividiu cada línia pel seu primer element diferent de zero per obtenir 1 en diagonal.
Com a resultat, obtindreu la matriu triangular superior utilitzant el mètode Gauss - Jordan. En ella, la diagonal principal està representada per unitats. La cantonada inferior està plena de zeros icantonada superior - diversos valors.
De la penúltima línia, resta l'última línia multiplicada pel coeficient requerit. Hauríeu d'obtenir una cadena amb zeros i un. Per a la resta de línies, repetiu la mateixa acció. Després de totes les transformacions, s'obtindrà la matriu d'identitat.

Un exemple de trobar la matriu inversa mitjançant el mètode de Gauss-Jordan

Per calcular la matriu inversa, cal escriure la matriu augmentada A|E i realitzar les transformacions necessàries. Considerem un exemple senzill. La figura següent mostra la matriu A.

Solució:

Primer, busquem el determinant de la matriu utilitzant el mètode gaussià (det A). Si aquest paràmetre no és igual a zero, la matriu es considerarà no singular. Això ens permetrà concloure que A definitivament té A^-1. Per calcular el determinant, transformem la matriu a una forma pas a pas mitjançant transformacions elementals. Comptem el nombre K igual al nombre de permutacions de fila. Hem canviat les línies només una vegada. Calculem el determinant. El seu valor serà igual al producte dels elements de la diagonal principal, multiplicat per (–1)^K. Resultat del càlcul: det A=2.
Composa la matriu augmentada afegint la matriu d'identitat a la matriu original. La matriu d'elements resultant s'utilitzarà per trobar la matriu inversa pel mètode de Gauss-Jordan.
El primer element de la primera fila és igual a un. Això ens convé, perquè no cal reordenar les línies i dividir la línia donada per algun nombre. Comencem a treballaramb la segona i la tercera línia. Per convertir el primer element de la segona fila en 0, resteu la primera fila multiplicada per 3 de la segona fila. Resteu la primera fila de la tercera fila (no cal multiplicar).
A la matriu resultant, el segon element de la segona fila és -4 i el segon element de la tercera fila és -1. Canviem les línies per comoditat. De la tercera fila resteu la segona fila multiplicada per 4. Dividiu la segona fila per -1 i la tercera fila per 2. Obtenim la matriu triangular superior.
Restarem l'última línia multiplicada per 4 de la segona línia i l'última línia multiplicada per 5 de la primera línia. A continuació, restem la segona línia multiplicada per 2 de la primera línia. Al costat esquerre tenim la matriu identitària. A la dreta hi ha la matriu inversa.

Un exemple de resolució de SLE mitjançant el mètode Gauss-Jordan

La figura mostra un sistema d'equacions lineals. Es requereix trobar els valors de variables desconegudes mitjançant una matriu, el mètode Gauss-Jordan.

Solució:

Creem una matriu augmentada. Per fer-ho, posarem els coeficients i els termes lliures a la taula.
Resol la matriu utilitzant el mètode de Gauss-Jordan. De la línia número 2 restem la línia número 1. De la línia número 3 restem la línia número 1, prèviament multiplicada per 2.
Canvia les files 2 i 3.
De la línia 3 resta la línia 2 multiplicada per 2. Dividiu la tercera línia resultant per –1.
Resta la línia 3 de la línia 2.
Resta la línia 1 de la línia 12 vegades -1. Al costat, tenim una columna formada pels números 0, 1 i -1. D'això arribem a la conclusió que x₁=0, x₂=1 i x₃ =–1.

Si voleu, podeu comprovar la correcció de la solució substituint els valors calculats a les equacions:

0 – 1=–1, la primera identitat del sistema és correcta;
0 + 1 + (–1)=0, la segona identitat del sistema és correcta;
0 – 1 + (–1)=–2, la tercera identitat del sistema és correcta.

Conclusió: utilitzant el mètode Gauss-Jordan, hem trobat la solució correcta a un sistema quadràtic que combina equacions algebraiques lineals.

Calculadores en línia

La vida dels joves actuals que estudien a les universitats i estudien àlgebra lineal s'ha simplificat molt. Fa uns anys, vam haver de trobar solucions als sistemes utilitzant el mètode Gauss i Gauss-Jordan pel nostre compte. Alguns alumnes van fer front amb èxit a les tasques, mentre que altres es van confondre en la solució, van cometre errors i van demanar ajuda als companys. Avui dia, podeu utilitzar calculadores en línia per fer els deures. Per resoldre sistemes d'equacions lineals, cercar matrius inverses, s'han escrit programes que demostren no només les respostes correctes, sinó que també mostren el progrés de la resolució d'un problema concret.

Hi ha molts recursos a Internet amb calculadores en línia integrades. Matrius gaussianes, sistemes d'equacions es resolen amb aquests programes en pocs segons. Els estudiants només han d'especificar els paràmetres requerits (per exemple, el nombre d'equacions,nombre de variables).