Les matrius (taules amb elements numèrics) es poden utilitzar per a diversos càlculs. Alguns d'ells són la multiplicació per un nombre, un vector, una altra matriu, diverses matrius. El producte de vegades és incorrecte. Un resultat erroni és el resultat del desconeixement de les regles per realitzar accions computacionals. Anem a esbrinar com fer la multiplicació.
Matriu i número
Comencem amb el més senzill: multiplicar una taula amb números per un valor específic. Per exemple, tenim una matriu A amb elements aij (i són els números de fila i j són els de columna) i el nombre e. El producte de la matriu pel nombre e serà la matriu B amb els elements bij, que es troben amb la fórmula:
bij=e × aij.
T. p. e. per obtenir l'element b11 cal que agafeu l'element a11 i multipliqueu-lo pel nombre desitjat, per obtenir b12 és necessari per trobar el producte de l'element a12 i el número e, etc.
Resolem el problema número 1 que es presenta a la imatge. Per obtenir la matriu B, simplement multipliqueu els elements de A per 3:
- a11 × 3=18. Escrivim aquest valor a la matriu B en el lloc on es tallen la columna núm. 1 i la fila núm. 1.
- a21 × 3=15. Tenim l'element b21.
- a12 × 3=-6. Hem rebut l'element b12. Ho escrivim a la matriu B al lloc on es tallen la columna 2 i la fila 1.
- a22 × 3=9. Aquest resultat és l'element b22.
- a13 × 3=12. Introduïu aquest número a la matriu en lloc de l'element b13.
- a23 × 3=-3. L'últim número rebut és l'element b23.
Així, hem obtingut una matriu rectangular amb elements numèrics.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vectors i la condició per a l'existència d'un producte de matrius
A les disciplines matemàtiques, hi ha un "vector". Aquest terme fa referència a un conjunt ordenat de valors des de a1 fins a . S'anomenen coordenades de l'espai vectorial i s'escriuen com una columna. També hi ha el terme "vector transposat". Els seus components estan disposats com una corda.
Els vectors es poden anomenar matrius:
El vector
El vector
Quan hagi acabatsobre matrius d'operacions de multiplicació, és important recordar que hi ha una condició per a l'existència d'un producte. L'acció de càlcul A × B només es pot realitzar quan el nombre de columnes de la taula A és igual al nombre de files de la taula B. La matriu resultant resultant del càlcul sempre té el nombre de files de la taula A i el nombre de columnes. a la taula B.
En multiplicar, no es recomana reordenar les matrius (multiplicadors). El seu producte normalment no correspon a la llei commutativa (desplaçament) de la multiplicació, és a dir, el resultat de l'operació A × B no és igual al resultat de l'operació B × A. Aquesta característica s'anomena no commutativitat del producte de matrius. En alguns casos, el resultat de la multiplicació A × B és igual al resultat de la multiplicació B × A, és a dir, el producte és commutatiu. Les matrius per a les quals es compleix la igu altat A × B=B × A s'anomenen matrius de permutació. Vegeu exemples d'aquestes taules a continuació.
Multiplicació per un vector columna
En multiplicar una matriu per un vector columna, hem de tenir en compte la condició d'existència del producte. El nombre de columnes (n) de la taula ha de coincidir amb el nombre de coordenades que formen el vector. El resultat del càlcul és el vector transformat. El seu nombre de coordenades és igual al nombre de línies (m) de la taula.
Com es calculen les coordenades del vector y si hi ha una matriu A i un vector x? Per als càlculs creades fórmules:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
on x1, …, x són coordenades del vector x, m és el nombre de files de la matriu i el nombre de coordenades del nou vector y, n és el nombre de columnes de la matriu i el nombre de coordenades del vector x, a11, a12, …, amn– elements de la matriu A.
Així, per obtenir la component i-è del nou vector, es realitza el producte escalar. El vector fila i-è es pren de la matriu A i es multiplica pel vector disponible x.
Resolem el problema 2. Podeu trobar el producte d'una matriu i un vector perquè A té 3 columnes i x consta de 3 coordenades. Com a resultat, hauríem d'obtenir un vector columna amb 4 coordenades. Utilitzem les fórmules anteriors:
- Calcular y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). El valor final és 2.
- Calcular y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Quan calculem, obtenim 0.
- Calcular y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). La suma dels productes dels factors indicats és 6.
- Calcular y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). La coordenada és -8.
Multiplicació de matrius vectorials de fila
No podeu multiplicar una matriu amb diverses columnes per un vector fila. En aquests casos, no es compleix la condició per a l'existència de l'obra. Però la multiplicació d'un vector fila per una matriu és possible. Aixòl'operació computacional es realitza quan el nombre de coordenades del vector i el nombre de files de la taula coincideixen. El resultat del producte d'un vector i una matriu és un nou vector fila. El seu nombre de coordenades ha de ser igual al nombre de columnes de la matriu.
Calcular la primera coordenada d'un vector nou implica multiplicar el vector fila i el vector primera columna de la taula. La segona coordenada es calcula de manera semblant, però en lloc del primer vector columna, es pren el segon vector columna. Aquesta és la fórmula general per calcular les coordenades:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, on yk és una coordenada del vector y (k està entre 1 i n), m és el nombre de files de la matriu i el nombre de coordenades en el vector x, n és el nombre de columnes de la matriu i el nombre de coordenades en el vector y, a amb índexs alfanumèrics són els elements de la matriu A.
Producte de matrius rectangulars
Aquest càlcul pot semblar complicat. Tanmateix, la multiplicació es fa fàcilment. Comencem amb una definició. El producte d'una matriu A amb m files i n columnes i una matriu B amb n files i p columnes és una matriu C amb m files i p columnes, en la qual l'element cij és el suma dels productes dels elements i-a fila de la taula A i j-esima columna de la taula B. En termes més simples, l'element cij és el producte escalar de la i-a fila vector de la taula A i el vector de la columna j de la taula B.
Ara esbrinem a la pràctica com trobar el producte de matrius rectangulars. Resolvem per això el problema número 3. Es compleix la condició per a l'existència d'un producte. Comencem a calcular els elements cij:
- La matriu C tindrà 2 files i 3 columnes.
- Calcula l'element c11. Per fer-ho, realitzem el producte escalar de la fila núm. 1 de la matriu A i la columna núm. 1 de la matriu B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. A continuació procedim de la mateixa manera, canviant només files, columnes (segons l'índex d'elements).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Els elements es calculen. Ara només queda fer un bloc rectangular dels números rebuts.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Multiplicació de tres matrius: la part teòrica
Pots trobar el producte de tres matrius? Aquesta operació computacional és factible. El resultat es pot obtenir de diverses maneres. Per exemple, hi ha 3 taules quadrades (del mateix ordre): A, B i C. Per calcular el producte, podeu:
- Multiplicar primer A i B. A continuació, multiplicar el resultat per C.
- Primer trobeu el producte de B i C. A continuació, multipliqueu la matriu A pel resultat.
Si necessiteu multiplicar matrius rectangulars, primer heu d'assegurar-vos que aquesta operació computacional és possible. Hauriaexisteixen els productes A × B i B × C.
La multiplicació incremental no és un error. Hi ha una cosa com "associativitat de la multiplicació de matrius". Aquest terme es refereix a la igu altat (A × B) × C=A × (B × C).
Pràctica de multiplicació de tres matrius
matrius quadrades
Comenceu multiplicant matrius quadrades petites. La figura següent mostra el problema número 4, que hem de resoldre.
Utilitzarem la propietat associativitat. Primer multipliquem A i B, o bé B i C. Només recordem una cosa: no es pot intercanviar factors, és a dir, no es pot multiplicar B × A o C × B. Amb aquesta multiplicació, obtindrem un resultat erroni.
Progrés de la decisió.
Primer pas. Per trobar el producte comú, primer multipliquem A per B. Quan multipliquem dues matrius, ens guiarem per les regles que s'han descrit anteriorment. Per tant, el resultat de multiplicar A i B serà una matriu D amb 2 files i 2 columnes, és a dir, una matriu rectangular inclourà 4 elements. Trobem-los fent el càlcul:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Resultat intermedi preparat.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Segon pas. Ara multipliquem la matriu D per la matriu C. El resultat hauria de ser una matriu quadrada G amb 2 files i 2 columnes. Calcula elements:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Així, el resultat del producte de matrius quadrades és una taula G amb elements calculats.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Matrius rectangulars
La figura següent mostra el problema número 5. És necessari per multiplicar matrius rectangulars i trobar una solució.
Comprovem si es compleix la condició d'existència dels productes A × B i B × C. Els ordres de les matrius indicades ens permeten realitzar la multiplicació. Comencem a resoldre el problema.
Progrés de la decisió.
Primer pas. Multiplica B per C per obtenir D. La matriu B té 3 files i 4 columnes, i la matriu C té 4 files i 2 columnes. Això vol dir que obtindrem una matriu D amb 3 files i 2 columnes. Calculem els elements. Aquí hi ha 2 exemples de càlcul:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Continuem resolent el problema. Com a resultat de càlculs posteriors, trobem els valors d21, d2 2, d31 i d32. Aquests elements són 0, 19, 1 i 11 respectivament. Escrivim els valors trobats en una matriu rectangular.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Segon pas. Multiplica A per D per obtenir la matriu final F. Tindrà 2 files i 2 columnes. Calcula elements:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Composa una matriu rectangular, que és el resultat final de la multiplicació de tres matrius.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Introducció al treball directe
El material força difícil d'entendre és el producte de matrius de Kronecker. També té un nom addicional: una obra directa. Què s'entén amb aquest terme? Suposem que tenim la taula A d'ordre m × n i la taula B d'ordre p × q. El producte directe de la matriu A i la matriu B és una matriu d'ordre mp × nq.
Tenim 2 matrius quadrades A, B, que es mostren a la imatge. El primer té 2 columnes i 2 files, i el segon té 3 columnes i 3 files. Veiem que la matriu resultant del producte directe consta de 6 files i exactament el mateix nombre de columnes.
Com es calculen els elements d'una nova matriu en un producte directe? Trobar la resposta a aquesta pregunta és molt fàcil si analitzeu la imatge. Primer ompliu la primera línia. Agafeu el primer element de la fila superior de la taula A i multipliqueu seqüencialment pels elements de la primera filade la taula B. A continuació, agafeu el segon element de la primera fila de la taula A i multipliqueu-lo seqüencialment pels elements de la primera fila de la taula B. Per omplir la segona fila, torneu a agafar el primer element de la primera fila de la taula A i multipliqueu-lo pels elements de la segona fila de la taula B.
La matriu final obtinguda per producte directe s'anomena matriu de blocs. Si tornem a analitzar la figura, podem veure que el nostre resultat consta de 4 blocs. Tots ells inclouen elements de la matriu B. A més, un element de cada bloc es multiplica per un element específic de la matriu A. En el primer bloc, tots els elements es multipliquen per a11, en el segon - per a12, en el tercer - el 21, en el quart - el 22.
Determinant del producte
Quan es considera el tema de la multiplicació de matrius, val la pena considerar un terme com "el determinant del producte de matrius". Què és un determinant? Aquesta és una característica important d'una matriu quadrada, un valor determinat que s'assigna a aquesta matriu. La designació literal del determinant és det.
Per a una matriu A que consta de dues columnes i dues files, el determinant és fàcil de trobar. Hi ha una petita fórmula que és la diferència entre els productes d'elements específics:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Considerem un exemple de càlcul del determinant d'una taula de segon ordre. Hi ha una matriu A en què a11=2, a12=3, a21=5 i a22=1. Per calcular el determinant, utilitzeu la fórmula:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Per a matrius 3 × 3, el determinant es calcula mitjançant una fórmula més complexa. Es presenta a continuació per a la matriu A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Per recordar la fórmula, hem creat la regla del triangle, que s'il·lustra a la imatge. En primer lloc, es multipliquen els elements de la diagonal principal. Al valor obtingut s'afegeixen els productes dels elements indicats pels angles dels triangles amb costats vermells. A continuació, es resta el producte dels elements de la diagonal secundària i els productes d'aquests elements indicats per les cantonades dels triangles amb costats blaus.
Ara parlem del determinant del producte de matrius. Hi ha un teorema que diu que aquest indicador és igual al producte dels determinants de les taules multiplicadores. Comprovem-ho amb un exemple. Tenim la matriu A amb les entrades a11=2, a12=3, a21=1 i a22=1 i la matriu B amb les entrades b11=4, b12=5, b 21 =1 i b22=2. Troba els determinants de les matrius A i B, el producte A × B i el determinant d'aquest producte.
Progrés de la decisió.
Primer pas. Calcula el determinant per a A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. A continuació, calculeu el determinant de B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Segon pas. Anem a trobarproducte A × B. Indica la nova matriu amb la lletra C. Calcula els seus elements:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Pas tres. Calcula el determinant de C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Compara amb el valor que es podria obtenir multiplicant els determinants de les matrius originals. Els números són els mateixos. El teorema anterior és cert.
Ranking del producte
El rang d'una matriu és una característica que reflecteix el nombre màxim de files o columnes linealment independents. Per calcular el rang, es realitzen transformacions elementals de la matriu:
- reordenació de dues files paral·leles;
- multiplicar tots els elements d'una fila determinada de la taula per un nombre diferent de zero;
- afegir als elements d'una fila d'elements d'una altra fila, multiplicat per un nombre específic.
Després de les transformacions elementals, mireu el nombre de cadenes diferents de zero. El seu nombre és el rang de la matriu. Considereu l'exemple anterior. Presentava 2 matrius: A amb elements a11=2, a12=3, a21=1 i a22 =1 i B amb elements b11=4, b12=5, b21=1 i b22=2. També utilitzarem la matriu C obtinguda com a resultat de la multiplicació. Si fem transformacions elementals, aleshores no hi haurà files zero a les matrius simplificades. Això vol dir que tant el rang de la taula A com el rang de la taula B i el rangla taula C és 2.
Ara prestem especial atenció al rang del producte de matrius. Hi ha un teorema que diu que el rang d'un producte de taules que contenen elements numèrics no supera el rang de cap dels factors. Això es pot demostrar. Sigui A una matriu k × s i B una matriu s × m. El producte d'A i B és igual a C.
Estudiem la imatge de d alt. Mostra la primera columna de la matriu C i la seva notació simplificada. Aquesta columna és una combinació lineal de les columnes incloses a la matriu A. De la mateixa manera, es pot dir sobre qualsevol altra columna de la matriu rectangular C. Així, el subespai format pels vectors columna de la taula C es troba en el subespai format per la matriu C. vectors columna de la taula A. Per això, la dimensió del subespai núm. 1 no supera la dimensió del subespai núm. 2. Això implica que el rang de les columnes de la taula C no supera el rang de les columnes de la taula A, és a dir, r(C) ≦ r(A). Si argumentem de manera semblant, podem assegurar-nos que les files de la matriu C són combinacions lineals de les files de la matriu B. Això implica la desigu altat r(C) ≦ r(B).
Com trobar el producte de matrius és un tema força complicat. Es pot dominar fàcilment, però per aconseguir aquest resultat, hauràs de passar molt de temps memoritzant totes les regles i teoremes existents.
