El curs de geometria escolar es divideix en dues grans seccions: planimetria i geometria sòlida. L'estereometria estudia les figures espacials i les seves característiques. En aquest article, veurem què és un prisma recte i donarem fórmules que descriuen les seves propietats, com ara longituds diagonals, volum i superfície.
Què és un prisma?
Quan es demana als escolars que anomenin la definició d'un prisma, responen que aquesta figura són dos polígons paral·lels idèntics, els costats dels quals estan connectats per paral·lelograms. Aquesta definició és el més general possible, ja que no imposa condicions sobre la forma dels polígons, sobre la seva disposició mútua en plans paral·lels. A més, implica la presència de paral·lelograms de connexió, la classe dels quals també inclou un quadrat, un rombe i un rectangle. A continuació podeu veure què és un prisma quadrangular.
Veiem que un prisma és un poliedre (poliedre) format per n + 2costats, 2 × n vèrtexs i 3 × n arestes, on n és el nombre de costats (vèrtexs) d'un dels polígons.
Ambdós polígons solen anomenar-se bases de la figura, les altres cares són els costats del prisma.
El concepte de prisma recte
Hi ha diferents tipus de prismes. Així doncs, parlen de figures regulars i irregulars, de prismes triangulars, pentagonals i altres, hi ha figures convexes i còncaves, i finalment, són inclinades i rectes. Parlem d'aquest últim amb més detall.
Un prisma recte és una figura de la classe estudiada de poliedres, tots els quadrangles laterals dels quals tenen angles rectes. Només hi ha dos tipus d'aquests quadrilàters: un rectangle i un quadrat.
La forma considerada de la figura té una propietat important: l'alçada d'un prisma recte és igual a la longitud de la seva vora lateral. Tingueu en compte que totes les vores laterals de la figura són iguals entre si. Pel que fa a les cares laterals, en el cas general no són iguals entre si. La seva igu altat és possible si, a més del fet que el prisma és recte, també serà correcte.
La figura següent mostra una figura recta amb una base pentagonal. Es pot veure que totes les seves cares laterals són rectangles.
Diagonals de prismes i els seus paràmetres lineals
Les principals característiques lineals de qualsevol prisma són la seva alçada h i les longituds dels costats de la seva base ai, on i=1, …, n. Si la base és un polígon regular, n'hi ha prou amb conèixer la longitud a d'un costat per descriure les seves propietats. Conèixer els paràmetres lineals marcats ens permet fer-ho sense ambigüitatsdefineix aquestes propietats d'una figura com el seu volum o superfície.
Les diagonals d'un prisma recte són segments que connecten dos vèrtexs no adjacents qualsevol. Aquestes diagonals poden ser de tres tipus:
- estirat als plans base;
- situat als plans dels rectangles laterals;
- xifres que pertanyen al volum.
Les longituds d'aquestes diagonals relacionades amb la base s'han de determinar en funció del tipus de n-gon.
Les diagonals dels rectangles laterals es calculen mitjançant la fórmula següent:
d1i=√(ai2+ h2).
Per determinar les diagonals de volum, cal saber el valor de la longitud de la diagonal de la base i l'alçada corresponents. Si alguna diagonal de la base es denota amb la lletra d0i, la diagonal de volum d2i es calcula de la següent manera:
d2i=√(d0i2+ h2).
Per exemple, en el cas d'un prisma quadrangular regular, la longitud de la diagonal del volum serà:
d2=√(2 × a2+ h2).
Tingueu en compte que un prisma triangular recte només té un dels tres tipus de diagonals anomenades: la diagonal lateral.
Superfície de la classe de formes estudiada
La superfície és la suma de les àrees de totes les cares d'una figura. Per visualitzar totes les cares, hauríeu de fer una exploració del prisma. Com a exemple, a continuació es mostra un escombrat per a una figura pentagonal.
Veiem que el nombre de figures planes és n + 2, i n són rectangles. Per calcular l'àrea de tot l'escombrat, sumeu les àrees de dues bases idèntiques i les àrees de tots els rectangles. Aleshores, la fórmula corresponent serà així:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Aquesta igu altat mostra que la superfície lateral del tipus de prismes estudiat és igual al producte de l'alçada de la figura i el perímetre de la seva base.
L'àrea base de So es pot calcular aplicant la fórmula geomètrica adequada. Per exemple, si la base d'un prisma recte és un triangle rectangle, obtenim:
So=a1 × a2 / 2.
On un1 i un2 són els catets del triangle.
Si la base és un n-gon amb angles i costats iguals, la fórmula següent serà justa:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Fórmula de volum
Determinar el volum d'un prisma de qualsevol tipus no és una tasca difícil si se'n coneix l'àrea base So i l'alçada h. Multiplicant aquests valors junts, obtenim el volum V de la figura, és a dir:
V=So × h.
Com que el paràmetre h d'un prisma recte és igual a la longitud de la vora lateral, tot el problema de calcular el volum es redueix a calcular l'àrea So. Per sobre de nos altresja he dit algunes paraules i he donat un parell de fórmules per determinar So. Aquí només observem que, en el cas d'una base de forma arbitrària, hauríeu de dividir-la en segments simples (triangles, rectangles), calcular l'àrea de cadascun i després afegir totes les àrees per obtenir S o.
