És poc probable que molta gent pensi si és possible calcular esdeveniments més o menys aleatoris. En termes senzills, és realista saber quin costat del dau caurà després? Va ser aquesta pregunta la que es van fer dos grans científics, que van establir les bases d'una ciència com la teoria de la probabilitat, en la qual la probabilitat d'un esdeveniment s'estudia força extensament.
Originació
Si intenteu definir un concepte com la teoria de la probabilitat, obteniu el següent: aquesta és una de les branques de les matemàtiques que estudia la constància dels esdeveniments aleatoris. Per descomptat, aquest concepte no revela realment tota l'essència, per la qual cosa cal considerar-lo amb més detall.
M'agradaria començar pels creadors de la teoria. Com s'ha dit anteriorment, n'hi havia dos, es tracta de Pierre Fermat i Blaise Pascal. Van ser ells els que van ser dels primers que van intentar calcular el resultat d'un esdeveniment mitjançant fórmules i càlculs matemàtics. En conjunt, els rudiments d'aquesta ciència van aparèixer tan aviatEdat mitjana. En aquell moment, diversos pensadors i científics van intentar analitzar els jocs d'atzar, com ara la ruleta, els daus, etc., establint així un patró i un percentatge de caiguda d'un nombre determinat. Els esmentats científics van posar les bases al segle XVII.
Al principi, el seu treball no es podia atribuir als grans èxits en aquest camp, perquè tot el que van fer eren simplement fets empírics, i els experiments es van situar visualment, sense l'ús de fórmules. Amb el temps, va resultar aconseguir grans resultats, que van aparèixer com a resultat d'observar el llançament de daus. Va ser aquesta eina la que va ajudar a obtenir les primeres fórmules intel·ligibles.
Associats
És impossible no esmentar una persona com Christian Huygens, en el procés d'estudi d'un tema anomenat "teoria de la probabilitat" (la probabilitat d'un esdeveniment es tracta precisament en aquesta ciència). Aquesta persona és molt interessant. Ell, com els científics presentats anteriorment, va intentar derivar la regularitat dels esdeveniments aleatoris en forma de fórmules matemàtiques. Cal destacar que no ho va fer juntament amb Pascal i Fermat, és a dir, totes les seves obres no es van creuar de cap manera amb aquestes ments. Huygens va derivar els conceptes bàsics de la teoria de la probabilitat.
Un fet interessant és que la seva obra va sortir molt abans dels resultats del treball dels pioners, o millor dit, vint anys abans. Entre els conceptes designats, els més famosos són:
- el concepte de probabilitat com a magnitud de l'atzar;
- expectativa per a discretscasos;
- teoremes de multiplicació i suma de probabilitats.
També és impossible no recordar Jacob Bernoulli, que també va fer una contribució important a l'estudi del problema. Realitzant les seves pròpies proves, independentment de ningú, va aconseguir presentar una prova de la llei dels grans nombres. Al seu torn, els científics Poisson i Laplace, que van treballar a principis del segle XIX, van poder demostrar els teoremes originals. Va ser a partir d'aquest moment quan es va començar a utilitzar la teoria de la probabilitat per analitzar els errors en el curs de les observacions. Els científics russos, o millor dit Markov, Chebyshev i Dyapunov, tampoc van poder obviar aquesta ciència. A partir del treball realitzat pels grans genis, van fixar aquesta assignatura com una branca de les matemàtiques. Aquestes figures funcionaven ja a finals del segle XIX, i gràcies a la seva aportació, fenòmens com:
- llei dels grans nombres;
- Teoria de la cadena de Markov;
- teorema del límit central.
Així, amb la història del naixement de la ciència i amb les principals persones que hi van influir, tot queda més o menys clar. Ara és el moment de concretar tots els fets.
Conceptes bàsics
Abans de tocar lleis i teoremes, val la pena estudiar els conceptes bàsics de la teoria de la probabilitat. L'esdeveniment hi pren el protagonisme. Aquest tema és bastant voluminós, però sense ell no serà possible entendre tota la resta.
Un esdeveniment en teoria de probabilitats és qualsevol conjunt de resultats d'un experiment. No hi ha tants conceptes d'aquest fenomen. Per tant, científic Lotman,treballant en aquest àmbit, va dir que en aquest cas estem parlant d'una cosa que "va passar, encara que potser no ha passat".
Esdeveniments aleatoris (la teoria de la probabilitat hi presta especial atenció) és un concepte que implica absolutament qualsevol fenomen que tingui la capacitat de produir-se. O, per contra, aquest escenari pot no passar quan es compleixen moltes condicions. També val la pena saber que són els esdeveniments aleatoris els que recullen tot el volum de fenòmens que s'han produït. La teoria de la probabilitat indica que totes les condicions es poden repetir constantment. Va ser la seva conducta la que es deia "experiència" o "prova".
Un esdeveniment determinat és aquell que es produirà al 100% en una prova determinada. En conseqüència, un esdeveniment impossible és aquell que no passarà.
La combinació d'un parell d'accions (convencionalment el cas A i el cas B) és un fenomen que es produeix simultàniament. Estan designats com a AB.
La suma de les parelles d'esdeveniments A i B és C, és a dir, si succeeix almenys un d'ells (A o B), s'obtindrà C. La fórmula del fenomen descrit s'escriu de la següent manera: C=A + B.
Els esdeveniments disjunts en teoria de probabilitats impliquen que dos casos s'exclouen mútuament. Mai poden passar al mateix temps. Els esdeveniments conjunts en la teoria de la probabilitat són la seva antípoda. Això implica que si va passar A, llavors no interfereix amb B.
Els esdeveniments oposats (la teoria de la probabilitat els tracta amb gran detall) són fàcils d'entendre. El millor és tractar-los en comparació. Són gairebé iguals quei esdeveniments incompatibles en teoria de probabilitats. Però la seva diferència rau en el fet que un dels molts fenòmens ha de passar de totes maneres.
Esdeveniments equivalents són aquelles accions, la possibilitat de les quals és igual. Per fer-ho més clar, podem imaginar-nos el llançament d'una moneda: la caiguda d'un dels seus costats és igualment probable que caigui l' altre.
L'esdeveniment auspici és més fàcil de veure amb un exemple. Suposem que hi ha l'episodi B i l'episodi A. El primer és el llançament del dau amb l'aparició d'un nombre senar, i el segon és l'aparició del número cinc al dau. Aleshores resulta que A afavoreix B.
Els esdeveniments independents de la teoria de la probabilitat es projecten només en dos o més casos i impliquen la independència de qualsevol acció d'una altra. Per exemple, A és la pèrdua de cues quan es llança una moneda, i B és el dibuix d'un gat de la baralla. Són esdeveniments independents en teoria de probabilitats. Amb aquest moment es va fer més clar.
Els esdeveniments dependents de la teoria de la probabilitat també són admissibles només pel seu conjunt. Implica la dependència de l'un de l' altre, és a dir, el fenomen B només es pot produir si A ja ha passat o, per contra, no ha passat, quan aquesta és la condició principal per a B.
El resultat d'un experiment aleatori que consta d'un component són esdeveniments elementals. La teoria de la probabilitat explica que aquest és un fenomen que només va passar una vegada.
Fórmules bàsiques
Per tant, els conceptes de "esdeveniment", "teoria de la probabilitat",també es va donar la definició dels termes bàsics d'aquesta ciència. Ara és el moment de familiaritzar-se directament amb les fórmules importants. Aquestes expressions confirmen matemàticament tots els conceptes principals en un tema tan difícil com és la teoria de la probabilitat. La probabilitat d'un esdeveniment també juga un paper important aquí.
Millor començar amb les fórmules bàsiques de la combinatòria. I abans de procedir-hi, val la pena considerar què és.
La combinatòria és principalment una branca de les matemàtiques, s'ocupa de l'estudi d'un gran nombre de nombres enters, així com de diverses permutacions tant dels mateixos nombres com dels seus elements, dades diverses, etc., que condueixen a l'aparició de una sèrie de combinacions. A més de la teoria de la probabilitat, aquesta branca és important per a l'estadística, la informàtica i la criptografia.
Així que ara podem passar a presentar les fórmules i definir-les.
La primera serà l'expressió del nombre de permutacions, té aquest aspecte:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
L'equació només s'aplica si els elements només difereixen en l'ordre.
Ara es tindrà en compte la fórmula d'ubicació, té aquest aspecte:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Aquesta expressió s'aplica no només a l'ordre de l'element, sinó també a la seva composició.
La tercera equació de la combinatòria, i també és l'última, s'anomena fórmula per al nombre de combinacions:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Les combinacions són seleccions que no estan ordenades, respectivament, i aquesta regla s'aplica a elles.
Va resultar fàcil esbrinar les fórmules de la combinatòria, ara podem passar a la definició clàssica de probabilitats. Aquesta expressió té aquest aspecte:
P(A)=m: n.
En aquesta fórmula, m és el nombre de condicions favorables a l'esdeveniment A, i n és el nombre d'absolutament tots els resultats igualment possibles i elementals.
Hi ha un gran nombre d'expressions, l'article no les cobrirà totes, però s'hi tocaran les més importants, com, per exemple, la probabilitat de la suma d'esdeveniments:
P(A + B)=P(A) + P(B) - aquest teorema només serveix per afegir esdeveniments incompatibles;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - i aquest només serveix per afegir-ne de compatibles.
Probabilitat de produir esdeveniments:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – aquest teorema és per a esdeveniments independents;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - i aquest és per addictes.
La fórmula de l'esdeveniment acaba la llista. La teoria de la probabilitat ens parla del teorema de Bayes, que té aquest aspecte:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
En aquesta fórmula, H1, H2, …, H és el grup complet d'hipòtesis.
Aturem-nos aquí, llavors es consideraran exemples d'aplicació de fórmules per resoldre problemes específics de la pràctica.
Exemples
Si estudies detingudament qualsevol secciómatemàtiques, no es fa sense exercicis i solucions de mostra. També ho és la teoria de la probabilitat: els esdeveniments, els exemples aquí són un component integral que confirma els càlculs científics.
Fórmula per al nombre de permutacions
Diguem que hi ha trenta cartes en una baralla de cartes, començant pel valor nominal u. Següent pregunta. De quantes maneres hi ha d'apilar la baralla de manera que les cartes amb un valor nominal d'un i dos no estiguin una al costat de l' altra?
La tasca s'ha establert, ara passem a resoldre'l. Primer cal determinar el nombre de permutacions de trenta elements, per a això prenem la fórmula anterior, resulta que P_30=30!.
A partir d'aquesta regla, descobrirem quantes opcions hi ha per plegar la baralla de diferents maneres, però n'hem de restar aquelles en què la primera i la segona són les següents. Per fer-ho, comencem amb l'opció quan la primera està per sobre de la segona. Resulta que la primera carta pot ocupar vint-i-nou llocs: de la primera a la vint-i-novèna, i la segona carta de la segona a la trentena, resulta vint-i-nou llocs per a un parell de cartes. Al seu torn, la resta pot ocupar vint-i-vuit llocs, i en qualsevol ordre. És a dir, per a una permutació de vint-i-vuit cartes, hi ha vint-i-vuit opcions P_28=28!
Com a resultat, resulta que si tenim en compte la solució quan la primera carta supera la segona, hi ha 29 ⋅ 28 possibilitats addicionals!=29!
Usant el mateix mètode, heu de calcular el nombre d'opcions redundants per al cas quan la primera targeta està per sota de la segona. També resulta 29 ⋅ 28!=29!
Així es dedueix que hi ha 2 ⋅ 29 opcions addicionals!, mentre que hi ha 30 maneres necessàries de construir una baralla! - 2 ⋅ 29!. Només queda per comptar.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Ara heu de multiplicar tots els nombres d'un a vint-i-nou junts i, al final, multiplicar-ho tot per 28. La resposta és 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Solució de l'exemple. Fórmula per al número d'ubicació
En aquest problema, cal esbrinar quantes maneres hi ha de posar quinze volums en un prestatge, però amb la condició que hi hagi trenta volums en total.
Aquest problema té una solució una mica més fàcil que l'anterior. Utilitzant la fórmula ja coneguda, cal calcular el nombre total d'ubicacions a partir de trenta volums de quinze.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 2043 204 93 204
La resposta, respectivament, serà 202 843 204 931 727 360 000.
Ara anem a fer la tasca una mica més difícil. Heu d'esbrinar quantes maneres hi ha de disposar trenta llibres en dues prestatgeries, sempre que només hi hagi quinze volums en un prestatge.
Abans de començar la solució, m'agradaria aclarir que alguns problemes es resolen de diverses maneres, de manera que en aquesta hi ha dues maneres, però en ambdues s'utilitza la mateixa fórmula.
En aquest problema, pots agafar la resposta de l'anterior, perquè allà hem calculat quantes vegades pots omplir un prestatge amb quinze llibres per-diferent. Va resultar que A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Calcularem el segon prestatge amb la fórmula de la permutació, perquè s'hi col·loquen quinze llibres, mentre que només en queden quinze. Utilitzeu la fórmula P_15=15!.
Resulta que el total serà A_30^15 ⋅ P_15 maneres, però, a més, el producte de tots els nombres de trenta a setze s'haurà de multiplicar pel producte dels nombres de l'un al quinze, com com a resultat, el producte de tots els nombres de l'un al trenta, de manera que la resposta és 30!
Però aquest problema es pot resoldre d'una altra manera, més fàcil. Per fer-ho, us podeu imaginar que hi ha un prestatge per a trenta llibres. Tots ells estan col·locats en aquest plànol, però com que la condició requereix que hi hagi dues prestatgeries, en tallem una de llarga per la meitat, en resulten dues de quinze cadascuna. A partir d'això resulta que les opcions d'ubicació poden ser P_30=30!.
Solució de l'exemple. Fórmula per al número de combinació
Ara considerarem una variant del tercer problema de la combinatòria. Heu d'esbrinar quantes maneres hi ha per organitzar quinze llibres, sempre que hàgiu de triar entre trenta absolutament idèntics.
Per a la solució, és clar, s'aplicarà la fórmula del nombre de combinacions. A partir de la condició es fa evident que l'ordre dels quinze llibres idèntics no és important. Per tant, inicialment cal esbrinar el nombre total de combinacions de trenta llibres de quinze.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: quinze !=155 117 520
Això és tot. Amb aquesta fórmula, en el menor temps possible va ser possibleresoldre aquest problema, la resposta, respectivament, és 155 117 520.
Solució de l'exemple. La definició clàssica de probabilitat
Amb la fórmula anterior, podeu trobar la resposta a un problema senzill. Però ajudarà a veure i seguir visualment el curs de les accions.
En el problema es dona que hi ha deu boles absolutament idèntiques a l'urna. D'aquests, quatre són grocs i sis blaus. Es treu una bola de l'urna. Has d'esbrinar la probabilitat de posar-te blau.
Per resoldre el problema, cal designar l'obtenció de la bola blava com a esdeveniment A. Aquesta experiència pot tenir deu resultats, que, al seu torn, són elementals i igualment probables. Al mateix temps, de deu, sis són favorables per a l'esdeveniment A. Resolem segons la fórmula:
P(A)=6: 10=0, 6
Aplicant aquesta fórmula, vam descobrir que la probabilitat d'obtenir la bola blava és 0,6.
Solució de l'exemple. Probabilitat de la suma d'esdeveniments
Ara es presentarà una variant, que es resol mitjançant la fórmula de la probabilitat de la suma d'esdeveniments. Així doncs, en la condició que hi hagi dues caixes, la primera conté una boles grises i cinc blanques, i la segona conté vuit boles grises i quatre blanques. Com a resultat, un d'ells va ser tret de la primera i la segona casella. Heu d'esbrinar quina és la possibilitat que les boles que obtingueu siguin grises i blanques.
Per resoldre aquest problema, heu d'etiquetar els esdeveniments.
- Així, A - agafa una bola grisa de la primera caixa: P(A)=1/6.
- A’ – agafa una bola blanca també de la primera caixa: P(A')=5/6.
- B: la bola grisa ja s'ha tret de la segona caixa: P(B)=2/3.
- B’: agafa una bola grisa de la segona caixa: P(B')=1/3.
Segons l'estat del problema, ha de passar un dels fenòmens: AB' o A'B. Utilitzant la fórmula, obtenim: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Ara s'ha utilitzat la fórmula de multiplicació de probabilitats. A continuació, per saber la resposta, cal aplicar l'equació per a la seva suma:
P=P(AB' + A'B)=P (AB') + P (A'B)=18/11.
Així és com, amb la fórmula, podeu resoldre problemes similars.
Resultat
L'article proporciona informació sobre el tema "Teoria de la probabilitat", en què la probabilitat d'un esdeveniment juga un paper crucial. Per descomptat, no es va tenir en compte tot, però, a partir del text presentat, es pot familiaritzar teòricament amb aquest apartat de les matemàtiques. La ciència en qüestió pot ser útil no només en el treball professional, sinó també en la vida quotidiana. Amb la seva ajuda, podeu calcular qualsevol possibilitat de qualsevol esdeveniment.
El text també va tocar dates significatives en la història de la formació de la teoria de la probabilitat com a ciència i els noms de les persones les obres de les quals es van invertir en ella. Així és com la curiositat humana va fer que les persones aprenguessin a calcular fins i tot esdeveniments aleatoris. Abans només els interessava, però avui tothom ja ho sap. I ningú dirà què ens espera en el futur, quins altres descobriments brillants relacionats amb la teoria en qüestió es faran. Però una cosa és segura: la investigació no s'atura!
