Molts, davant el concepte de "teoria de la probabilitat", s'espanten, pensant que això és una cosa aclaparadora, molt complexa. Però realment no és tan tràgic. Avui considerarem el concepte bàsic de la teoria de la probabilitat, aprendrem a resoldre problemes amb exemples específics.
Ciència
Què estudia una branca de les matemàtiques com la "teoria de la probabilitat"? Observa patrons d'esdeveniments i quantitats aleatoris. Per primera vegada, els científics es van interessar per aquest tema al segle XVIII, quan van estudiar el joc. El concepte bàsic de la teoria de la probabilitat és un esdeveniment. És qualsevol fet que es constata per experiència o observació. Però què és l'experiència? Un altre concepte bàsic de la teoria de la probabilitat. Vol dir que aquesta composició de circumstàncies no es va crear per casualitat, sinó amb un propòsit específic. Pel que fa a l'observació, aquí el propi investigador no participa en l'experiment, sinó que simplement és un testimoni d'aquests esdeveniments, no influeix de cap manera en el que està passant.
Esdeveniments
Vam aprendre que el concepte bàsic de la teoria de la probabilitat és un esdeveniment, però no vam tenir en compte la classificació. Tots ells es divideixen en les següents categories:
- Fiable.
- Impossible.
- Atzar.
No importaquin tipus d'esdeveniments s'observen o es creen al llarg de l'experiència, tots estan subjectes a aquesta classificació. Oferim familiaritzar-se amb cadascuna de les espècies per separat.
Cert esdeveniment
Aquesta és una circumstància davant la qual s'han pres les mesures necessàries. Per entendre millor l'essència, és millor posar uns quants exemples. La física, la química, l'economia i les matemàtiques superiors estan subjectes a aquesta llei. La teoria de la probabilitat inclou un concepte tan important com un esdeveniment determinat. Aquests són alguns exemples:
- Treballem i rebem una remuneració en forma de salari.
- Hem aprovat bé els exàmens, hem aprovat el concurs, per això rebem una recompensa en forma d'admissió a una institució educativa.
- Hem invertit diners al banc, els recuperarem si cal.
Aquests esdeveniments són fiables. Si hem complert totes les condicions necessàries, sens dubte obtindrem el resultat esperat.
Esdeveniments impossibles
Ara estem considerant elements de la teoria de la probabilitat. Proposem passar a una explicació del següent tipus d'esdeveniment, és a dir, l'impossible. Primer, especifiquem la regla més important: la probabilitat d'un esdeveniment impossible és zero.
No us podeu desviar d'aquesta redacció quan resoleu problemes. Per aclarir-ho, aquí teniu exemples d'aquests esdeveniments:
- L'aigua es va congelar a més deu (això és impossible).
- La manca d'electricitat no afecta de cap manera la producció (igual que impossible com en l'exemple anterior).
Més exemplesNo val la pena citar-los, ja que els descrits anteriorment reflecteixen molt clarament l'essència d'aquesta categoria. L'esdeveniment impossible mai passarà durant l'experiència sota cap circumstància.
Esdeveniments aleatoris
Estudiant els elements de la teoria de la probabilitat, s'ha de prestar especial atenció a aquest tipus particular d'esdeveniment. Això és el que estudia la ciència. Com a resultat de l'experiència, alguna cosa pot passar o no. A més, la prova es pot repetir un nombre il·limitat de vegades. Exemples vívids són:
- Llançar una moneda és una experiència, o una prova, l'encapçalament és un esdeveniment.
- Treure una bola a cegues d'una bossa és una prova, una bola vermella és atrapada és un esdeveniment, etc.
Pot haver-hi un nombre il·limitat d'exemples d'aquest tipus, però, en general, l'essència hauria de ser clara. Per resumir i sistematitzar els coneixements adquirits sobre els esdeveniments, s'ofereix una taula. La teoria de la probabilitat només estudia l'últim tipus de tots els presentats.
| títol | definició | exemple |
| Fiable | Esdeveniments que es produeixen amb una garantia del 100% en determinades condicions. | Admissió a una institució educativa amb un bon examen d'accés. |
| Impossible | Esdeveniments que mai passaran sota cap circumstància. | Està nevant a una temperatura de més de trenta graus centígrads. |
| Atzar | Un esdeveniment que es pot produir o no durant un experiment/prova. | Tocar o perdre quan llances una pilota de bàsquet al cèrcol. |
Lleis
La teoria de la probabilitat és una ciència que estudia la possibilitat que es produeixi un esdeveniment. Com els altres, té unes regles. Hi ha les següents lleis de la teoria de la probabilitat:
- Convergència de seqüències de variables aleatòries.
- La llei dels grans nombres.
Quan calculeu la possibilitat d'un complex, podeu utilitzar un complex d'esdeveniments simples per aconseguir el resultat d'una manera més fàcil i ràpida. Tingueu en compte que les lleis de la teoria de la probabilitat es demostren fàcilment amb l'ajuda d'alguns teoremes. Comencem per la primera llei.
Convergència de seqüències de variables aleatòries
Tingueu en compte que hi ha diversos tipus de convergència:
- La seqüència de variables aleatòries convergeix en probabilitat.
- Gairebé impossible.
- Convergència RMS.
- Convergència en la distribució.
Per tant, sobre la marxa, és molt difícil arribar al fons. Aquí teniu algunes definicions per ajudar-vos a entendre aquest tema. Comencem amb la primera mirada. Una successió s'anomena probabilitat convergent si es compleix la següent condició: n tendeix a l'infinit, el nombre al qual tendeix la seqüència és major que zero i proper a un.
Anem a la següent vista, gairebé segur. Ho diuenla seqüència convergeix gairebé segurament cap a una variable aleatòria amb n que tendeix a l'infinit i P tendeix a un valor proper a un.
El següent tipus és la convergència arrel quadrada mitjana. Quan s'utilitza la convergència SC, l'estudi dels processos aleatoris vectorials es redueix a l'estudi dels seus processos aleatoris de coordenades.
L'últim tipus queda, fem-hi una breu ullada per tal de procedir directament a resoldre problemes. La convergència de distribució té un altre nom: "feble", explicarem per què a continuació. La convergència feble és la convergència de les funcions de distribució en tots els punts de continuïtat de la funció de distribució límit.
Assegureu-vos de complir la promesa: la convergència feble difereix de tot l'anterior en què la variable aleatòria no està definida a l'espai de probabilitat. Això és possible perquè la condició es forma exclusivament utilitzant funcions de distribució.
Llei dels grans nombres
Els excel·lents ajudants per demostrar aquesta llei seran els teoremes de la teoria de la probabilitat, com ara:
- La desigu altat de Chebyshev.
- Teorema de Txebixev.
- Teorema de Txebixev generalitzat.
- Teorema de Markov.
Si tenim en compte tots aquests teoremes, aquesta pregunta pot allargar-se durant diverses dotzenes de fulls. La nostra tasca principal és aplicar la teoria de la probabilitat a la pràctica. Et convidem a fer-ho ara mateix. Però abans, considerem els axiomes de la teoria de la probabilitat, que seran els principals ajudants en la resolució de problemes.
Axiomes
Ja vam conèixer el primer quan vam parlar de l'esdeveniment impossible. Recordem: la probabilitat d'un esdeveniment impossible és zero. Vam posar un exemple molt viu i memorable: va nevar a una temperatura de l'aire de trenta graus centígrads.
El segon sona així: es produeix un esdeveniment fiable amb una probabilitat igual a un. Ara mostrem com escriure-ho amb llenguatge matemàtic: P(B)=1.
Tercer: pot ocórrer un esdeveniment aleatori o no, però la possibilitat sempre oscil·la entre zero i un. Com més a prop estigui el valor d'un, més possibilitats són; si el valor s'acosta a zero, la probabilitat és molt baixa. Escrivim això en llenguatge matemàtic: 0<Р(С)<1.
Considerem l'últim, quart axioma, que sona així: la probabilitat de la suma de dos esdeveniments és igual a la suma de les seves probabilitats. Escrivim en llenguatge matemàtic: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Els axiomes de la teoria de la probabilitat són les regles més senzilles que són fàcils de recordar. Intentem resoldre alguns problemes, a partir dels coneixements ja adquirits.
Billet de loteria
Primer, considereu l'exemple més senzill: la loteria. Imagina que has comprat un bitllet de loteria per tenir sort. Quina és la probabilitat que guanyis almenys vint rubles? En total, mil bitllets participen a la circulació, un dels quals té un premi de cinc-cents rubles, deu de cent rubles, cinquanta de vint rubles i cent de cinc. Els problemes de la teoria de la probabilitat es basen en trobar la possibilitatbona sort. Ara analitzarem junts la solució de la tasca presentada anteriorment.
Si denotem amb la lletra A una victòria de cinc-cents rubles, aleshores la probabilitat d'obtenir A serà de 0,001. Com ho hem aconseguit? Només has de dividir el nombre de bitllets "afortunats" pel seu nombre total (en aquest cas: 1/1000).
B és una victòria de cent rubles, la probabilitat serà 0,01. Ara hem actuat segons el mateix principi que en l'acció anterior (10/1000)
C: els guanys són iguals a vint rubles. Trobeu la probabilitat, és igual a 0,05.
La resta d'entrades no ens interessen, ja que el seu fons de premi és inferior a l'especificat a la condició. Apliquem el quart axioma: la probabilitat de guanyar almenys vint rubles és P(A)+P(B)+P(C). La lletra P indica la probabilitat que es produeixi aquest esdeveniment, ja els hem trobat en els passos anteriors. Només queda afegir les dades necessàries, a la resposta obtenim 0, 061. Aquest número serà la resposta a la pregunta de la tasca.
Paquet de targetes
Els problemes de la teoria de la probabilitat poden ser més complexos, per exemple, feu la tasca següent. Davant tu hi ha una baralla de trenta-sis cartes. La teva tasca és dibuixar dues cartes seguides sense barrejar la pila, la primera i la segona carta han de ser as, el pal no importa.
Primer, busquem la probabilitat que la primera carta sigui un as, per a això dividim quatre per trenta-sis. Ho van deixar de banda. Traiem la segona carta, serà un as amb una probabilitat de tres trenta-cincs. La probabilitat del segon esdeveniment depèn de quina carta hem dibuixat primer, ens interessaera un as o no. Es dedueix que l'esdeveniment B depèn de l'esdeveniment A.
El següent pas és trobar la probabilitat d'implementació simultània, és a dir, multipliquem A i B. El seu producte es troba de la següent manera: la probabilitat d'un esdeveniment es multiplica per la probabilitat condicional d'un altre, que calculem., suposant que es va produir el primer esdeveniment, és a dir, amb la primera carta vam treure un as.
Per tal de deixar-ho tot clar, donem una designació a un element com la probabilitat condicional d'un esdeveniment. Es calcula suposant que s'ha produït l'esdeveniment A. Calculat de la següent manera: P(B/A).
Continuem resolent el nostre problema: P(AB)=P(A)P(B/A) o P (AB)=P(B)P(A/B). La probabilitat és (4/36)((3/35)/(4/36). Calculeu arrodonint a centèsimes. Tenim: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. La probabilitat que traguem dos ass seguits és de nou centèsimes. El valor és molt petit, per tant, la probabilitat que es produeixi l'esdeveniment és extremadament petita.
Número oblidat
Proposem analitzar algunes opcions més per a tasques que s'estudien per la teoria de la probabilitat. En aquest article ja n'heu vist exemples de resolució d'alguns d'ells, intentem resoldre el següent problema: el nen va oblidar l'últim dígit del número de telèfon del seu amic, però com que la trucada era molt important, va començar a marcar-ho tot al seu torn. Hem de calcular la probabilitat que no truqui més de tres vegades. La solució del problema és la més senzilla si es coneixen les regles, les lleis i els axiomes de la teoria de la probabilitat.
Abans de mirarsolució, intenta resoldre'l tu mateix. Sabem que l'últim dígit pot ser de zero a nou, és a dir, hi ha deu valors en total. La probabilitat d'obtenir el correcte és 1/10.
A continuació, hem de considerar les opcions per a l'origen de l'esdeveniment, suposem que el nen ha encertat i immediatament ha marcat l'encertat, la probabilitat d'aquest esdeveniment és d'1/10. La segona opció: la primera trucada és una f alta, i la segona està a punt. Calculem la probabilitat d'un esdeveniment d'aquest tipus: multipliquem 9/10 per 1/9, com a resultat també obtenim 1/10. La tercera opció: la primera i la segona trucada van resultar ser a l'adreça equivocada, només a partir de la tercera el nen va arribar on volia. Calculem la probabilitat d'un esdeveniment d'aquest tipus: multipliquem 9/10 per 8/9 i per 1/8, obtenim com a resultat 1/10. Segons l'estat del problema, no ens interessen altres opcions, així que ens queda sumar els resultats, com a resultat tenim 3/10. Resposta: La probabilitat que el nen truqui no més de tres vegades és 0,3.
Targetes amb números
Hi ha nou cartes davant teu, en cadascuna de les quals hi ha escrit un número de l'un al nou, els números no es repeteixen. Es van col·locar en una caixa i es van barrejar a fons. Heu de calcular la probabilitat que
- apareixerà un nombre parell;
- de dos dígits.
Abans de procedir a la solució, estipulem que m és el nombre de casos reeixits i n és el nombre total d'opcions. Troba la probabilitat que el nombre sigui parell. No serà difícil calcular que hi ha quatre nombres parells, aquesta serà la nostra m, hi ha nou opcions en total, és a dir, m=9. Després la probabilitatés igual a 0, 44 o 4/9.
Considereu el segon cas: el nombre d'opcions és nou, i no hi pot haver cap resultat satisfactori, és a dir, m és igual a zero. La probabilitat que la targeta extreta contingui un nombre de dos dígits també és zero.
