El prisma pentagonal per resoldre problemes de geometria és molt menys comú que els prismes triangulars, quadrangulars o hexagonals. No obstant això, és útil revisar les propietats bàsiques d'aquesta forma, així com aprendre a dibuixar-la.
Què és un prisma pentagonal?
Aquesta és una figura tridimensional, les bases de la qual són pentàgons i els costats són paral·lelograms. Si cadascun d'aquests paral·lelograms és perpendicular a les bases paral·leles, aquest prisma s'anomena rectangular. La superfície lateral d'un prisma pentagonal rectangular està formada per cinc rectangles. A més, el costat adjacent a la base de cadascun d'ells és igual a la longitud corresponent del costat del pentàgon.
Si el pentàgon és regular, és a dir, tots els seus costats i angles són iguals entre si, aleshores aquest prisma rectangular s'anomena regular. Més endavant en l'article considerarem les propietats d'aquesta figura en particular.
Elements prismes
Per a ella, com per a qualsevol prisma,els elements següents són característics:
- cares o costats són parts de plans que limiten una figura a l'espai;
- tops - punts d'intersecció de tres costats;
- costelles: segments de la intersecció de dos costats de la figura.
Els números de tots els elements esmentats estan relacionats entre si per la igu altat següent:
Nombre d'arestes=nombre de vèrtexs + nombre de cares - 2
Aquesta expressió s'anomena fórmula d'Euler per al poliedre.
En un prisma pentagonal, el nombre de costats és set (dues bases + cinc rectangles). El nombre de pics és 10 (cinc per cada base). El nombre de vores en aquest cas serà:
Nombre de costelles=10 + 7 - 2=15
Deu arestes pertanyen a les bases del prisma i cinc arestes estan formades per rectangles.
Com dibuixar un prisma pentagonal?
La resposta a aquesta pregunta depèn de la tasca específica. Si cal dibuixar un prisma arbitrari, s'ha de dibuixar qualsevol pentàgon. Després d'això, dibuixa cinc segments paral·lels d'igual longitud des de cada vèrtex del pentàgon. A continuació, connecteu els extrems superiors dels segments. El resultat és un prisma arbitrari pentagonal.
Si cal dibuixar un prisma regular, tota la complexitat de la tasca es redueix a l'obtenció d'un pentàgon regular. Hi ha diverses maneres de dibuixar aquest polígon. Aquí només considerarem dues maneres.
La primera manera és dibuixar un cercle amb una brúixola. Aleshores es dibuixa un diàmetre arbitraricercle i cinc angles es compten amb un transportador a 72o (572o=360o). En comptar cada angle, es fa una osca al cercle. Per construir un rectangle, cal connectar les osques marcades amb segments rectes.
El segon mètode consisteix a utilitzar només una brúixola i un regle. És una mica complex en comparació amb l'anterior. A continuació es mostra un vídeo que explica detalladament cada pas d'aquesta creació.
Tingueu en compte que és fàcil dibuixar un pentàgon si connecteu els extrems de l'estrella. Si no cal dibuixar un pentàgon exactament regular, podeu utilitzar el mètode d'estrella dibuixada a mà.
Tan aviat com es dibuixi el pentàgon, dibuixa cinc segments paral·lels idèntics de cadascun dels seus vèrtexs i connecta'ls. El resultat és un prisma pentagonal.
Àrea de forma
Ara considereu com trobar l'àrea d'un prisma pentagonal. La figura següent mostra el seu desenvolupament. Es pot veure que l'àrea requerida està formada per dos pentàgons idèntics i cinc rectangles iguals entre si.
L'àrea de tota la superfície de la figura s'expressa amb la fórmula:
S=2So+ 5Sp
Aquí els índexs o i p signifiquen la base i el rectangle, respectivament. Denotem la longitud del costat del pentàgon com a i l'alçada de la figura com h. Aleshores per al rectangle escrivim:
Sp=ah
Per calcular l'àrea d'un pentàgon,utilitza la fórmula universal:
S=n/4a2ctg(pi/n)
On n és el nombre de costats del polígon. Substituint n=5, obtenim:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
La precisió de la igu altat resultant és de 3 decimals, la qual cosa és suficient per resoldre qualsevol problema.
Ara queda per trobar la suma de les àrees obtingudes de la base i la superfície lateral. Tenim:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Cal recordar que la fórmula resultant només és vàlida per a un prisma rectangular. En el cas d'una figura obliqua, l'àrea de la seva superfície lateral es troba a partir del coneixement del perímetre del tall, que ha de ser perpendicular a tots els paral·lelograms.
El volum de la figura
La fórmula per calcular el volum d'un prisma pentagonal no és diferent d'una expressió similar per a qualsevol altre prisma o cilindre. El volum d'una figura és igual al producte de la seva alçada per l'àrea de la base:
V=Soh
Si el prisma en qüestió és rectangular, la seva alçada és la longitud de la vora que formen els rectangles. L'àrea d'un pentàgon regular s'ha calculat anteriorment amb gran precisió. Substituïu aquest valor a la fórmula del volum i obteniu l'expressió necessària per a un prisma pentagonal regular:
V=1, 72a2h
Així, calculant el volum i la superfícieun prisma pentagonal regular és possible si es coneix el costat de la base i l'alçada de la figura.
