Un cilindre és una de les figures tridimensionals senzilles que s'estudien a l'assignatura de geometria de l'escola (secció geometria sòlida). En aquest cas, sovint sorgeixen problemes per calcular el volum i la massa d'un cilindre, així com per determinar la seva superfície. Les respostes a les preguntes marcades es donen en aquest article.
Què és un cilindre?
Abans de procedir a la resposta a la pregunta, quina és la massa del cilindre i el seu volum, val la pena considerar quina és aquesta figura espacial. Cal tenir en compte de seguida que un cilindre és un objecte tridimensional. És a dir, a l'espai, podeu mesurar tres dels seus paràmetres al llarg de cadascun dels eixos d'un sistema de coordenades rectangulars cartesianes. De fet, per determinar sense ambigüitats les dimensions d'un cilindre, n'hi ha prou de conèixer només dos dels seus paràmetres.
El cilindre és una figura tridimensional formada per dos cercles i una superfície cilíndrica. Per representar més clarament aquest objecte, n'hi ha prou d'agafar un rectangle i començar a girar-lo al voltant de qualsevol dels seus costats, que serà l'eix de rotació. En aquest cas, el rectangle giratori descriurà la formarotació - cilindre.
Dues superfícies rodones s'anomenen bases del cilindre, es caracteritzen per un radi determinat. La distància entre les bases s'anomena alçada. Les dues bases estan connectades entre si per una superfície cilíndrica. La línia que passa pels centres dels dos cercles s'anomena eix del cilindre.
Volum i superfície
Com es pot veure a l'anterior, el cilindre està definit per dos paràmetres: l'alçada h i el radi de la seva base r. Coneixent aquests paràmetres, és possible calcular totes les altres característiques del cos considerat. A continuació es mostren els principals:
- La zona de les bases. Aquest valor es calcula amb la fórmula: S1=2pir2, on pi és pi igual a 3, 14. Dígit 2 a la fórmula apareix perquè el cilindre té dues bases idèntiques.
- Àrea de superfície cilíndrica. Es pot calcular així: S2=2pirh. És fàcil d'entendre aquesta fórmula: si una superfície cilíndrica es talla verticalment d'una base a una altra i s'expandeix, s'obtindrà un rectangle, l'alçada del qual serà igual a l'alçada del cilindre i l'amplada correspondrà a la circumferència de la base de la figura tridimensional. Com que l'àrea del rectangle resultant és el producte dels seus costats, que són iguals a h i 2pir, s'obté la fórmula anterior.
- Àrea de la superfície del cilindre. És igual a la suma de les àrees de S1 i S2, obtenim: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Volum. Aquest valor és fàcil de trobar, només heu de multiplicar l'àrea d'una base per l'alçada de la xifra: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Determinació de la massa d'un cilindre
Per últim, val la pena anar directament al tema de l'article. Com determinar la massa d'un cilindre? Per fer-ho, cal conèixer el seu volum, la fórmula de càlcul que es va presentar anteriorment. I la densitat de la substància de la qual consta. La massa es determina mitjançant una fórmula simple: m=ρV, on ρ és la densitat del material que forma l'objecte en qüestió.
El concepte de densitat caracteritza la massa d'una substància que es troba en una unitat de volum d'espai. Per exemple. Se sap que el ferro té una densitat més alta que la fusta. Això vol dir que en el cas de volums iguals de matèria de ferro i fusta, la primera tindrà una massa molt més gran que la segona (aproximadament 16 vegades).
Calcul de la massa d'un cilindre de coure
Considereu un problema senzill. Cal trobar la massa d'un cilindre fet de coure. Per a la definició, deixeu que el cilindre tingui un diàmetre de 20 cm i una alçada de 10 cm.
Abans de començar a resoldre el problema, hauríeu de tractar amb les dades d'origen. El radi del cilindre és igual a la meitat del seu diàmetre, que vol dir r=20/2=10 cm, mentre que l'alçada és h=10 cm Com que el cilindre considerat en el problema és de coure, doncs, referint-se a la dades de referència, escrivim el valor de densitat d'aquest material: ρ=8, 96 g/cm3 (per a una temperatura de 20 °C).
Ara pots començar a resoldre el problema. Primer, calculem el volum: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Aleshores, la massa del cilindre serà: m=ρV=8,963140=28134 grams o aproximadament 28 quilograms.
Has de parar atenció a la dimensió de les unitats durant el seu ús en les fórmules corresponents. Per tant, al problema, tots els paràmetres es van presentar en centímetres i grams.
Cilindres homogenis i buits
A partir del resultat obtingut anteriorment, es pot observar que un cilindre de coure de dimensions relativament petites (10 cm) té una massa gran (28 kg). Això es deu no només al fet que està fet de material pesat, sinó també al fet que és homogeni. Aquest fet és important entendre, ja que la fórmula anterior per calcular la massa només es pot utilitzar si el cilindre està totalment (exterior i interior) fet del mateix material, és a dir, és homogeni.
A la pràctica, s'utilitzen sovint cilindres buits (per exemple, barrils cilíndrics per a l'aigua). És a dir, estan fets de làmines primes d'algun material, però per dins estan buides. Per a un cilindre buit, no es pot utilitzar la fórmula indicada per calcular la massa.
Càlcul de la massa d'un cilindre buit
És interessant calcular quina massa tindrà un cilindre de coure si està buit a l'interior. Per exemple, deixeu-lo fer d'una làmina prima de coure amb un gruix de només d=2 mm.
Per resoldre aquest problema, cal trobar el volum del mateix coure, a partir del qual està fet l'objecte. No el volum del cilindre. Perquè el gruixla làmina és petita en comparació amb les dimensions del cilindre (d=2 mm i r=10 cm), aleshores el volum de coure del qual està fet l'objecte es pot trobar multiplicant tota la superfície del cilindre per la gruix de la làmina de coure, obtenim: V=dS 3=d2pir(r+h). Substituint les dades del problema anterior, obtenim: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. La massa d'un cilindre buit es pot obtenir multiplicant el volum de coure obtingut, necessari per a la seva fabricació, per la densitat de coure: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g o 2,3 kg. És a dir, el cilindre buit considerat pesa 12 (28, 1/2, 3) vegades menys que un d'homogeni.
