Quadrilàter inscrit en un cercle. El quadrilàter ABCD està inscrit en una circumferència

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:43

Amb la divisió de les matemàtiques en àlgebra i geometria, el material educatiu es fa més difícil. Apareixen noves figures i els seus casos especials. Per entendre bé el material, cal estudiar els conceptes, propietats dels objectes i teoremes relacionats.

Conceptes generals

Un quadrilàter significa una figura geomètrica. Consta de 4 punts. A més, 3 d'ells no es troben en la mateixa línia recta. Hi ha segments que connecten els punts especificats en sèrie.

Tots els quadrilàters estudiats al curs de geometria de l'escola es mostren al diagrama següent. Conclusió: qualsevol objecte de la figura presentada té les propietats de la figura anterior.

Un quadrilàter pot ser dels tipus següents:

Paral·lelogram. El paral·lelisme dels seus costats oposats es demostra amb els teoremes corresponents.
Trapezi. Un quadrilàter amb bases paral·leles. Les altres dues parts no ho són.
Rectangle. Una figura que té les 4 cantonades=90º.
Rombe. Una figura amb tots els costats iguals.
quadrat. Combina les propietats de les dues últimes figures. Té tots els costats iguals i tots els angles són rectes.

La definició principal d'aquest tema és un quadrilàter inscrit en un cercle. Consisteix en el següent. Aquesta és una figura al voltant de la qual es descriu un cercle. Ha de passar per tots els vèrtexs. Els angles interiors d'un quadrilàter inscrit en un cercle sumen 360º.

No tots els quadrilàters poden estar inscrits. Això es deu al fet que les mediatrius dels 4 costats poden no tallar-se en un punt. Això farà que sigui impossible trobar el centre d'un cercle que circumscrigui un gon 4.

Casos especials

Hi ha excepcions a cada regla. Per tant, en aquest tema també hi ha casos especials:

Un paral·lelogram, com a tal, no es pot inscrit en un cercle. Només el seu cas especial. És un rectangle.
Si tots els vèrtexs d'un rombe es troben a la línia circumscrita, aleshores és un quadrat.
Tots els vèrtexs del trapezi es troben al límit del cercle. En aquest cas, parlen d'una figura isòsceles.

Propietats d'un quadrilàter inscrit en un cercle

Abans de resoldre problemes simples i complexos sobre un tema determinat, heu de verificar els vostres coneixements. Sense estudiar el material educatiu, és impossible resoldre un sol exemple.

Teorema 1

La suma dels angles oposats d'un quadrilàter inscrit en una circumferència és 180º.

Propietats d'un quadrilàter inscrit en una circumferència

Prova

Donat: el quadrilàter ABCD està inscrit en un cercle. El seu centre és el punt O. Hem de demostrar que _<A + _<C=180º i _< B + _<D=180º.

Cal tenir en compte les xifres presentades.

_{<A està inscrit en un cercle centrat en el punt O. Es mesura a través de ½ BCD (mig arc).}

_{<C està inscrit al mateix cercle. Es mesura a través de ½ BAD (mig arc).}
BAD i BCD formen un cercle sencer, és a dir, la seva magnitud és de 360º.

_<A + _{<C són iguals a la meitat de la suma dels mig arcs representats.}

Per tant _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

angles d'un quadrilàter inscrit en una circumferència

De manera semblant, la prova de _<B i _{<D. Tanmateix, hi ha una segona solució al problema.}

Se sap que la suma dels angles interiors d'un quadrilàter és 360º.

Perquè _<A + _<C=180º. En conseqüència, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teorema 2

(Sovint s'anomena invers) Si està en un quadrilàter _<A + _<C=180º i _{<B +} <_{D=180º (si són oposats), es pot descriure un cercle al voltant d'aquesta figura.}

Prova

Es dóna la suma dels angles oposats del quadrilàter ABCD iguals a 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Hem de demostrar que un cercle es pot circumscriure al voltant de ABCD.}

A partir del curs de geometria se sap que es pot traçar una circumferència per 3 punts d'un quadrilàter. Per exemple, podeu utilitzar els punts A, B, C. On estarà situat el punt D? Hi ha 3 suposicions:

Ella acaba dins del cercle. En aquest cas, D no toca la línia.
Fora del cercle. Va molt més enllà de la línia esbossada.
Resulta en un cercle.

S'ha de suposar que D està dins del cercle. El lloc del vèrtex indicat està ocupat per D´. Resulta quadrilàter ABCD´.

El resultat és:_<B + _<D´=2d.

Si continuem AD´ fins a la intersecció amb el cercle existent centrat al punt E i connectem E i C, obtenim un quadrilàter inscrit ABCE. Del primer teorema se segueix la igu altat:

Segons les lleis de la geometria, l'expressió no és vàlida perquè _<D´ és la cantonada exterior del triangle CD´E. En conseqüència, hauria de ser més de _{<E. D'això podem concloure que D ha d'estar al cercle o fora d'ell.}

De la mateixa manera, la tercera hipòtesi es pot demostrar errònia quan D´´ va més enllà del límit de la figura descrita.

De dues hipòtesis se segueix l'única correcta. El vèrtex D es troba a la línia del cercle. És a dir, D coincideix amb E. Es dedueix que tots els punts del quadrilàter es troben a la línia descrita.

A partir d'aquestsdos teoremes, els corol·laris segueixen:

Qualsevol rectangle es pot inscriure en un cercle. Hi ha una altra conseqüència. Un cercle es pot circumscriure a qualsevol rectangle

El trapezi amb malucs iguals es pot inscriure en un cercle. En altres paraules, sona així: es pot descriure un cercle al voltant d'un trapezi amb arestes iguals

Diversos exemples

Problema 1. El quadrilàter ABCD està inscrit en un cercle. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Cal trobar _{<ABD. La resposta s'ha d'escriure en graus.}

Decisió. Al principi, pot semblar difícil trobar la resposta.

1. Heu de recordar les propietats d'aquest tema. És a dir: la suma dels angles oposats=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

En geometria, és millor seguir el principi: troba tot el que puguis. Útil més tard.

2. Pas següent: utilitzeu el teorema de la suma del triangle.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º 75º=70º}

S'han inscrit

_<ABD i _{<ACD. Per condició, es basen en un arc. En conseqüència, tenen valors iguals:}

_<ABD=_<ACD=70º

Resposta: _<ABD=70º.

Problema 2. BCDE és un quadrilàter inscrit en una circumferència. _<B=69º, _<C=84º. El centre del cercle és el punt E. Cerca - _<E.

quadrilàter ABCD està inscrit en una circumferència

Decisió.

Cal trobar _{<E segons el teorema 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Resposta: _{< E=96º.}

Problema 3. Donat un quadrilàter inscrit en una circumferència. Les dades es mostren a la figura. Cal trobar valors desconeguts x, y, z.

Solució:

z=180º – 93º=87º (segons el teorema 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (segons el teorema 1)

Resposta: z=87º, x=82º, y=98º.

Problema 4. Hi ha un quadrilàter inscrit en un cercle. Els valors es mostren a la figura. Cerca x, y.

Solució:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Resposta: x=100º, y=109º.

Problemes per a una solució independent

Exemple 1. Donat un cercle. El seu centre és el punt O. AC i BD són diàmetres. _<ACB=38º. Cal trobar _{<AOD. La resposta s'ha de donar en graus.}

Exemple 2. Donat un quadrilàter ABCD i un cercle circumscrit al seu voltant. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Cerca _{<CAD. Escriu la teva resposta en graus.}

quadrilàter inscrit en una circumferència

Exemple 3. Donat una circumferència i un quadrilàter inscrit ABCD. Els seus dos angles són 82º i58º. Has de trobar el més gran dels angles restants i escriu la resposta en graus.

Exemple 4. Es dóna ABCD quadrangular. Els angles A, B, C es donen en la proporció 1:2:3. Cal trobar l'angle D si el quadrilàter especificat pot estar inscrit en una circumferència. La resposta s'ha de donar en graus.

Exemple 5. Es dóna ABCD quadrilàter. Els seus costats formen arcs del cercle circumscrit. Els valors de grau AB, BC, CD i AD, respectivament, són: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Hauríeu de trobar _{<Des del quadrangle donat i escriu la resposta en graus.}