Problemes geomètrics típics en el pla i en l'espai tridimensional són els problemes de determinar les àrees superficials de diferents formes. En aquest article, presentem la fórmula per a l'àrea de la superfície lateral d'una piràmide quadrangular regular.
Què és una piràmide?
Donem una definició geomètrica estricta d'una piràmide. Suposem que hi ha un polígon amb n costats i n cantonades. Escollim un punt arbitrari de l'espai que no estarà en el pla de l'n-gon especificat i el connectem a cada vèrtex del polígon. Obtenim una figura que té algun volum, que s'anomena piràmide n-gonal. Per exemple, mostrem a la figura següent com és una piràmide pentagonal.
Dos elements importants de qualsevol piràmide són la seva base (n-gon) i la part superior. Aquests elements estan connectats entre si per n triangles, que en general no són iguals entre si. Perpendicular baixada dede d alt a baix s'anomena alçada de la figura. Si talla la base al centre geomètric (coincideix amb el centre de massa del polígon), aleshores aquesta piràmide s'anomena línia recta. Si, a més d'aquesta condició, la base és un polígon regular, llavors tota la piràmide s'anomena regular. La figura següent mostra com són les piràmides regulars amb bases triangulars, quadrangulars, pentagonals i hexagonals.
Superfície de la piràmide
Abans de passar a la qüestió de l'àrea de la superfície lateral d'una piràmide quadrangular regular, ens hem de fixar en el concepte de superfície en si.
Com s'ha esmentat anteriorment i es mostra a les figures, qualsevol piràmide està formada per un conjunt de cares o costats. Un costat és la base i n costats són triangles. La superfície de tota la figura és la suma de les àrees de cadascun dels seus costats.
És convenient estudiar la superfície a l'exemple d'una figura que es desplega. A les figures següents es mostra una exploració d'una piràmide quadrangular normal.
Veiem que la seva superfície és igual a la suma de quatre àrees de triangles isòsceles idèntics i l'àrea d'un quadrat.
L'àrea total de tots els triangles que formen els costats de la figura s'anomena àrea de la superfície lateral. A continuació, mostrarem com calcular-lo per a una piràmide quadrangular regular.
L'àrea de la superfície lateral d'una piràmide regular quadrangular
Per calcular l'àrea del lateralsuperfície de la figura especificada, tornem a passar a l'escaneig anterior. Suposem que coneixem el costat de la base quadrada. Denotem-ho amb el símbol a. Es pot veure que cadascun dels quatre triangles idèntics té una base de longitud a. Per calcular la seva àrea total, cal conèixer aquest valor d'un triangle. Des del curs de geometria se sap que l'àrea d'un triangle St és igual al producte de la base per l'alçada, que s'ha de dividir per la meitat. És a dir:
St=1/2hba.
On hb és l'alçada d'un triangle isòsceles dibuixat a la base a. Per a una piràmide, aquesta alçada és l'apotema. Ara queda multiplicar l'expressió resultant per 4 per obtenir l'àrea Sbde la superfície lateral de la piràmide en qüestió:
Sb=4St=2hba.
Aquesta fórmula conté dos paràmetres: l'apotema i el costat de la base. Si el segon es coneix en la majoria de les condicions dels problemes, llavors el primer s'ha de calcular coneixent altres quantitats. Aquestes són les fórmules per calcular l'apotema hb per a dos casos:
- quan es coneix la longitud de la costella lateral;
- quan es coneix l'alçada de la piràmide.
Si denotem la longitud de la vora lateral (el costat d'un triangle isòsceles) amb el símbol L, aleshores l'apotema hb ve determinat per la fórmula:
hb=√(L2 - a2/4).
Aquesta expressió és el resultat d'aplicar el teorema de Pitàgores al triangle de superfície lateral.
Si se sapl'alçada h de la piràmide, després l'apotema hb es pot calcular de la següent manera:
hb=√(h2 + a2/4).
Aconseguir aquesta expressió tampoc és difícil si considerem dins de la piràmide un triangle rectangle format pels catets h i a/2 i la hipotenusa hb.
Mostrem com aplicar aquestes fórmules resolent dos problemes interessants.
Problema amb la superfície coneguda
Se sap que la superfície lateral d'una piràmide quadrangular regular és de 108 cm2. Cal calcular el valor de la longitud del seu apotema hb, si l'alçada de la piràmide és de 7 cm.
Escrivim la fórmula per a l'àrea Sbde la superfície lateral a través de l'alçada. Tenim:
Sb=2√(h2 + a2/4) a.
Aquí acabem de substituir la fórmula d'apotema corresponent a l'expressió de Sb. Anem al quadrat dels dos costats de l'equació:
Sb2=4a2h2 + a4.
Per trobar el valor de a, fem un canvi de variables:
a2=t;
t2+ 4h2t - Sb 2=0.
Ara substituïm els valors coneguts i resolem l'equació quadràtica:
t2+ 196t - 11664=0.
t ≈ 47, 8355.
Només hem escrit l'arrel positiva d'aquesta equació. Aleshores els costats de la base de la piràmide seran:
a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.
Per obtenir la longitud de l'apotema,només cal que utilitzeu la fórmula:
hb=√(h2 + a2/4)=√(7 2+ 6, 9162/4) ≈ 7, 808 veure
Superfície lateral de la piràmide de Keops
Determineu el valor de la superfície lateral de la piràmide egípcia més gran. Se sap que a la seva base hi ha un quadrat amb una longitud lateral de 230.363 metres. L'alçada de l'estructura era originàriament de 146,5 metres. Substituïu aquests nombres a la fórmula corresponent per a Sb, obtenim:
Sb=2√(h2 + a2/4) a=2√(146, 52+230, 3632/4)230, 363 ≈ 85860 m2.
El valor trobat és una mica més gran que l'àrea de 17 camps de futbol.
