En matemàtiques, hi ha el concepte de "conjunt", així com exemples de comparació d'aquests mateixos conjunts entre si. Els noms de tipus de comparació de conjunts són les següents paraules: bijecció, injecció, surjecció. Cadascun d'ells es descriu amb més detall a continuació.
Una bijecció és… què és?
Un grup d'elements del primer conjunt es relaciona amb el segon grup d'elements del segon conjunt d'aquesta forma: cada element del primer grup es relaciona directament amb un altre element del segon grup, i allà No hi ha cap situació amb escassetat o enumeració d'elements de qualsevol o de dos grups de conjunts.
Formulació de les propietats principals:
- Un element a un.
- No hi ha elements addicionals en fer coincidir i es conserva la primera propietat.
- És possible invertir el mapatge mantenint la vista general.
- Una bijecció és una funció tant injectiva com surjectiva.
Bijecció des del punt de vista científic
Les funcions bijectives són exactament isomorfismes de la categoria "conjunt i conjunt de funcions". Tanmateix, les bijeccions no sempre són isomorfismes per a categories més complexes. Per exemple, en una determinada categoria de grups, els morfismes han de ser homomorfismes, ja que han de preservar l'estructura del grup. Per tant, els isomorfismes són isomorfismes de grup, que són homomorfismes bijectius.
El concepte de "correspondència un a un" es generalitza a les funcions parcials, on s'anomenen bijeccions parcials, encara que una bijecció parcial és el que hauria de ser una injecció. El motiu d'aquesta relaxació és que la funció parcial (propia) ja no es defineix per a part del seu domini. Per tant, no hi ha una bona raó per limitar la seva funció inversa a una de completa, és a dir, definida a tot arreu del seu domini. El conjunt de totes les bijeccions parcials a un conjunt de bases donat s'anomena semigrup invers simètric.
Una altra manera de definir el mateix concepte: val la pena dir que una bijecció parcial de conjunts d'A a B és qualsevol relació R (funció parcial) amb la propietat que R és un gràfic de bijecció f:A'→B 'on A' és un subconjunt de A i B' és un subconjunt de B.
Quan una bijecció parcial es troba al mateix conjunt, de vegades s'anomena transformació parcial d'un a un. Un exemple és la transformada de Möbius acabada de definir en el pla complex, no la seva finalització en el pla complex estès.
Injecció
Un grup d'elements del primer conjunt coincideix amb el segon grup d'elements del segon conjunt d'aquesta forma: cada element del primer grup coincideix amb un altre element del segon, però no tots. es converteixen en parelles. El nombre d'elements no aparellats depèn de la diferència en el nombre d'aquests mateixos elements en cadascun dels conjunts: si un conjunt consta de trenta-un elements i l' altre en té set més, aleshores el nombre d'elements no aparellats és set. Injecció dirigida al conjunt. La bijecció i la injecció són semblants, però res més que semblants.
Surjecció
Un grup d'elements del primer conjunt es combina amb el segon grup d'elements del segon conjunt d'aquesta manera: cada element de qualsevol grup forma un parell, encara que hi hagi una diferència entre el nombre d'elements. Es dedueix que un element d'un grup es pot emparellar amb diversos elements d'un altre grup.
Ni funció bijectiva, ni injectiva, ni surjectiva
Aquesta és una funció de forma bijectiva i surjectiva, però amb un residu (no aparellat)=> injecció. En aquesta funció, hi ha clarament una connexió entre bijecció i surjecció, ja que inclou directament aquests dos tipus de comparacions de conjunts. Per tant, la totalitat de tot tipus d'aquestes funcions no és una d'elles aïlladament.
Explicació de tot tipus de funcions
Per exemple, l'observador està fascinat pel següent. Hi ha competicions de tir amb arc. Cadascunels participants volen colpejar l'objectiu (per tal de facilitar la tasca: exactament on toca la fletxa no es té en compte). Només tres participants i tres objectius: aquest és el primer lloc (lloc) del torneig. A les seccions posteriors, es conserva el nombre d'arquers, però es modifica el nombre d'objectius: al segon - quatre objectius, al següent també quatre, i al quart - cinc. Cada participant dispara a cada objectiu.
- La primera seu del torneig. El primer arquer només colpeja un objectiu. El segon només colpeja un objectiu. El tercer es repeteix després dels altres, i tots els arquers toquen objectius diferents: els que estan davant d'ells. Com a resultat, 1 (el primer arquer) va colpejar l'objectiu (a), 2 - in (b), 3 - in (c). S'observa la següent dependència: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). La conclusió serà el judici que aquesta comparació de conjunts és una bijecció.
- La segona plataforma del torneig. El primer arquer només colpeja un objectiu. El segon també colpeja només un objectiu. El tercer no prova realment i ho repeteix tot després dels altres, però la condició és la mateixa: tots els arquers toquen objectius diferents. Però, com s'ha esmentat anteriorment, ja hi ha quatre objectius a la segona plataforma. Dependència: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - element no aparellat del conjunt. En aquest cas, la conclusió serà el judici que aquesta comparació conjunta és una injecció.
- La tercera seu del torneig. El primer arquer només colpeja un objectiu. El segon torna a colpejar només un objectiu. El tercer decideix recuperar-se i colpeja el tercer i el quart blanc. Com a resultat, la dependència: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Aquí, la conclusió serà el judici que aquesta comparació de conjunts és una surjecció.
- La quarta plataforma del torneig. Amb el primer, ja està tot clar, només encerta un objectiu, en el qual aviat no hi haurà lloc per a cops ja avorrits. Ara el segon pren el paper del tercer encara recent i torna a colpejar només un objectiu, repetint després del primer. El tercer segueix controlant-se i no para d'introduir la seva fletxa al tercer i quart blanc. El cinquè, però, encara estava fora del seu control. Per tant, dependència: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - element no aparellat del conjunt d'objectius. Conclusió: aquesta comparació de conjunts no és una surjecció, ni una injecció ni una bijecció.
Ara construir una bijecció, una injecció o una surjecció no serà un problema, així com trobar diferències entre elles.
