Superfície lateral d'un con regular i truncat. Fórmules i un exemple de resolució del problema

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 05:19

Quan es consideren figures a l'espai, sovint sorgeixen problemes per determinar la seva superfície. Una d'aquestes figures és el con. Considereu a l'article quina és la superfície lateral d'un con amb una base rodona, així com d'un tronc de con.

Con amb base rodona

Abans de procedir a la consideració de la superfície lateral del con, mostrarem de quin tipus de figura es tracta i com obtenir-la mitjançant mètodes geomètrics.

Preneu un triangle rectangle ABC, on AB i AC són catets. Posem aquest triangle al catet AC i girem-lo al voltant del catet AB. Com a resultat, els costats AC i BC descriuen dues superfícies de la figura que es mostra a continuació.

La figura obtinguda per rotació s'anomena con recte rodó. És rodona perquè la seva base és una circumferència, i recta perquè una perpendicular dibuixada des de la part superior de la figura (punt B) talla la circumferència en el seu centre. La longitud d'aquesta perpendicular s'anomena alçada. Òbviament, és igual al pot AB. L'alçada sol indicar-se amb la lletra h.

A més de l'alçada, el con considerat es descriu per dues característiques lineals més:

• generador o generatriu (hipotenusa BC);
• radi base (cama AC).

El radi es denotarà amb la lletra r i la generadora amb g. Aleshores, tenint en compte el teorema de Pitàgores, podem anotar la igu altat important per a la figura en qüestió:

g²=h²+ r²

Superfície cònica

La totalitat de totes les generatrius forma una superfície cònica o lateral d'un con. En aparença, és difícil saber a quina figura plana correspon. Això últim és important saber quan es determina l'àrea d'una superfície cònica. Per resoldre aquest problema, s'utilitza el mètode d'escombrat. Consisteix en el següent: una superfície es talla mentalment al llarg d'una generatriu arbitrària, i després es desplega sobre un pla. Amb aquest mètode per obtenir un escombrat, es forma la següent figura plana.

Com podeu suposar, el cercle correspon a la base, però el sector circular és una superfície cònica, l'àrea de la qual ens interessa. El sector està limitat per dues generatrius i un arc. La longitud d'aquest últim és exactament igual al perímetre (longitud) de la circumferència de la base. Aquestes característiques determinen de manera única totes les propietats del sector circular. No donarem càlculs matemàtics intermedis, sinó que escrivim immediatament la fórmula final, amb la qual podeu calcular l'àrea de la superfície lateral del con. La fórmula és:

S_b=pigr

L'àrea d'una superfície cònica S_b és igual al producte de dos paràmetres i Pi.

Con truncat i la seva superfície

Si agafem un con normal i tallem la seva part superior amb un pla paral·lel, la figura restant serà un tronc de con. La seva superfície lateral està limitada per dues bases rodones. Denotem els seus radis com a R i r. Denotem l'alçada de la figura amb h, i la generatriu amb g. A continuació es mostra un retall de paper per a aquesta figura.

S'observa que la superfície lateral ja no és un sector circular, és de menor superfície, ja que se n'ha tallat la part central. El desenvolupament es limita a quatre línies, dues d'elles són segments-generadors de rectes, les altres dues són arcs amb les longituds dels cercles corresponents de les bases del tronc de con.

Superfície lateral S_bcalculada de la següent manera:

S_b=pig(r + R)

Generatriu, radis i alçada es relacionen per la següent igu altat:

g²=h²+ (R - r)²

El problema amb la igu altat de les àrees de xifres

Donat un con amb una alçada de 20 cm i un radi de base de 8 cm, cal trobar l'alçada d'un tronc de con la superfície lateral del qual tindrà la mateixa àrea que aquest con. La figura truncada està construïda sobre la mateixa base i el radi de la base superior és de 3 cm.

Primer de tot, anotem la condició d'igu altat de les àrees del con i de la figura truncada. Tenim:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Ara escrivim les expressions de les generatrius de cada forma:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Substituïu g₁ i g₂ a la fórmula per a àrees iguals i quadrat els costats esquerre i dret, obtenim:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

On obtenim l'expressió per a h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + D)}2^{- (R - r)}2 ⁾

No simplificarem aquesta igu altat, sinó que simplement substituirem les dades conegudes de la condició:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14,85 cm}

Així, per igualar les àrees de les superfícies laterals de les figures, el tronc de con ha de tenir els paràmetres: R=8 cm, r=3 cm, h₂≈ 14, 85 cm.