Quan s'estudia absolutament qualsevol figura espacial, és important saber calcular-ne el volum. Aquest article proporciona una fórmula per al volum d'una piràmide quadrangular normal i també mostra com s'ha d'utilitzar aquesta fórmula utilitzant un exemple de resolució de problemes.
De quina piràmide estem parlant?
Tot alumne de secundària sap que una piràmide és un poliedre format per triangles i un polígon. Aquesta última és la base de la figura. Els triangles tenen un costat comú amb la base i es tallen en un únic punt, que és la part superior de la piràmide.
Cada piràmide es caracteritza per la longitud dels costats de la base, la longitud de les vores laterals i l'alçada. Aquest últim és un segment perpendicular, baixat a la base des de la part superior de la figura.
Una piràmide quadrangular regular és una figura de base quadrada, l'alçada de la qual talla aquest quadrat en el seu centre. Potser l'exemple més famós d'aquest tipus de piràmides són les antigues estructures de pedra de l'Egipte. A continuació hi ha una fotopiràmides de Keops.
La figura en estudi té cinc cares, quatre de les quals són triangles isòsceles idèntics. També es caracteritza per cinc vèrtexs, quatre dels quals pertanyen a la base, i vuit arestes (4 arestes de la base i 4 arestes de les cares laterals).
La fórmula per al volum d'una piràmide quadrangular és correcta
El volum de la figura en qüestió és una part de l'espai que està limitat per cinc costats. Per calcular aquest volum, utilitzem la següent dependència de l'àrea d'un tall paral·lel a la base de la piràmide Sz de la coordenada vertical z:
Sz=So (h - z/h)2
Aquí So és l'àrea de la base quadrada. Si substituïm z=h a l'expressió escrita, obtindrem un valor zero per a Sz. Aquest valor de z correspon a una porció que contindrà només la part superior de la piràmide. Si z=0, obtenim el valor de l'àrea base So.
És fàcil trobar el volum d'una piràmide si coneixes la funció Sz(z), per a això n'hi ha prou amb tallar la figura en un nombre infinit de capes paral·leles a la base, i després realitzar l'operació d'integració. Segueixo aquesta tècnica, obtenim:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Perquè S0 ésl'àrea de la base quadrada, llavors, denotant el costat del quadrat amb la lletra a, obtenim la fórmula per al volum d'una piràmide quadrangular regular:
V=1/3a2h.
Ara utilitzem exemples de resolució de problemes per mostrar com s'ha d'aplicar aquesta expressió.
El problema de determinar el volum d'una piràmide mitjançant la seva apotema i la seva vora lateral
L'apotema d'una piràmide és l'alçada del seu triangle lateral, que es baixa al costat de la base. Com que tots els triangles són iguals en una piràmide regular, els seus apotemes també seran els mateixos. Denotem la seva longitud amb el símbol hb. Indica la vora lateral com a b.
Sabent que l'apotema de la piràmide és de 12 cm i la seva vora lateral és de 15 cm, troba el volum d'una piràmide quadrangular regular.
La fórmula del volum de la figura escrita en el paràgraf anterior conté dos paràmetres: la longitud del costat a i l'alçada h. De moment, no en coneixem cap, així que fem una ullada als seus càlculs.
La longitud del costat d'un quadrat a és fàcil de calcular si utilitzeu el teorema de Pitàgores per a un triangle rectangle, en què la hipotenusa és l'aresta b i els catets són l'apotema h b i la meitat del costat de la base a/2. Obtenim:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Substituint els valors coneguts per la condició, obtenim el valor a=18 cm.
Per calcular l'alçada h de la piràmide, podeu fer dues coses: considereu un rectangularun triangle amb una aresta hipotenusa-lateral o amb una hipotenusa-apotema. Tots dos mètodes són iguals i impliquen la realització del mateix nombre d'operacions matemàtiques. Detenem-nos en la consideració d'un triangle, on la hipotenusa és l'apotema hb. Les potes seran h i a / 2. Aleshores obtenim:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7.937 cm.
Ara podeu utilitzar la fórmula per al volum V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Així, el volum d'una piràmide quadrangular normal és d'aproximadament 0,86 litres.
El volum de la piràmide de Keops
Ara resolem un problema interessant i pràcticament important: trobar el volum de la piràmide més gran de Gizeh. Se sap per la literatura que l'alçada original de l'edifici era de 146,5 metres, i la longitud de la seva base és de 230,363 metres. Aquests nombres ens permeten aplicar la fórmula per calcular V. Obtenim:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
El valor resultant és de gairebé 2,6 milions de m3. Aquest volum correspon al volum d'un cub el costat del qual és de 137,4 metres.
