La piràmide és un políedre espacial, o poliedre, que es produeix en problemes geomètrics. Les principals propietats d'aquesta figura són el seu volum i la seva superfície, que es calculen a partir del coneixement de dues de les seves característiques lineals. Una d'aquestes característiques és l'apotema de la piràmide. Se'n parlarà a l'article.
Forma de piràmide
Abans de donar la definició de l'apotema de la piràmide, familiaritzem-nos amb la figura en si. La piràmide és un poliedre, que està format per una base n-gonal i n triangles que formen la superfície lateral de la figura.
Cada piràmide té un vèrtex: el punt de connexió de tots els triangles. La perpendicular dibuixada des d'aquest vèrtex a la base s'anomena alçada. Si l'alçada talla la base al centre geomètric, la figura s'anomena recta. Una piràmide recta amb una base equilàter s'anomena piràmide regular. La figura mostra una piràmide amb una base hexagonal, que es veu des del costat de la cara i la vora.
Apotema de la piràmide dreta
També s'anomena apotema. S'entén com una perpendicular traçada des de la part superior de la piràmide fins al costat de la base de la figura. Per definició, aquesta perpendicular correspon a l'alçada del triangle que forma la cara lateral de la piràmide.
Com que estem considerant una piràmide regular amb una base n-gonal, llavors tots els n apotemes d'aquesta seran iguals, ja que aquests són els triangles isòsceles de la superfície lateral de la figura. Tingueu en compte que les apotemes idèntiques són propietat d'una piràmide regular. Per a una figura de tipus general (obliqua amb un n-gon irregular), tots els n apotemes seran diferents.
Una altra propietat d'una apotema de piràmide regular és que és simultàniament l'alçada, la mediana i la bisectriu del triangle corresponent. Això vol dir que el divideix en dos triangles rectangles idèntics.
Piràmide triangular i fórmules per determinar el seu apotema
En qualsevol piràmide regular, les característiques lineals importants són la longitud del costat de la seva base, la vora lateral b, l'alçada h i l'apotema hb. Aquestes magnituds estan relacionades entre si per les fórmules corresponents, que es poden obtenir dibuixant una piràmide i considerant els triangles rectangles necessaris.
Una piràmide triangular regular consta de 4 cares triangulars, i una d'elles (la base) ha de ser equilàter. La resta són isòsceles en el cas general. apotemaLa piràmide triangular es pot determinar en termes d' altres quantitats utilitzant les fórmules següents:
hb=√(b2- a2/4);
hb=√(a2/12 + h2)
La primera d'aquestes expressions és vàlida per a una piràmide amb qualsevol base correcta. La segona expressió només és característica d'una piràmide triangular. Mostra que l'apotema és sempre més gran que l'alçada de la figura.
No confongueu l'apotema d'una piràmide amb la d'un poliedre. En aquest últim cas, l'apotema és un segment perpendicular dibuixat al costat del poliedre des del seu centre. Per exemple, l'apotema d'un triangle equilàter és √3/6a.
Tasca Apothem
Doneu una piràmide regular amb un triangle a la base. Cal calcular-ne l'apotema si se sap que l'àrea d'aquest triangle és de 34 cm2, i la piràmide en si consta de 4 cares idèntiques.
D'acord amb la condició del problema, estem davant d'un tetraedre format per triangles equilàters. La fórmula per a l'àrea d'una cara és:
S=√3/4a2
On obtenim la longitud del costat a:
a=2√(S/√3)
Per determinar l'apotema hb, utilitzem la fórmula que conté la vora lateral b. En el cas considerat, la seva longitud és igual a la longitud de la base, tenim:
hb=√(b2- a2/4)=√3/2 a
Substituint el valor de a a S,obtenim la fórmula final:
hb=√3/22√(S/√3)=√(S√3)
Tenim una fórmula senzilla en què l'apotema d'una piràmide depèn només de l'àrea de la seva base. Si substituïm el valor S de la condició del problema, obtenim la resposta: hb≈ 7, 674 cm.
