Un con és una de les figures espacials de rotació, les característiques i propietats de les quals s'estudien per estereometria. En aquest article, definirem aquesta figura i considerar les fórmules bàsiques que connecten els paràmetres lineals d'un con amb la seva superfície i volum.
Què és un con?
Des del punt de vista de la geometria, estem parlant d'una figura espacial, que està formada per un conjunt de segments rectes que connecten un punt determinat de l'espai amb tots els punts d'una corba plana llisa. Aquesta corba pot ser un cercle o una el·lipse. La figura següent mostra un con.
La figura presentada no té volum, ja que les parets de la seva superfície tenen un gruix infinitesimal. Tanmateix, si està ple d'una substància i està limitat des de d alt no per una corba, sinó per una figura plana, per exemple, un cercle, aleshores obtindrem un cos volumètric sòlid, que també s'anomena comunament con.
La forma d'un con sovint es pot trobar a la vida. Així doncs, té un cucurutxo de gelat o uns cons de trànsit a ratlles negres i taronges que es col·loquen a la calçada per cridar l'atenció dels participants del trànsit.
Elements d'un con i els seus tipus
Com que el con no és un poliedre, el nombre d'elements que el formen no és tan gran com els poliedres. En geometria, un con general consta dels elements següents:
- base, la corba de delimitació de la qual s'anomena directriu o generatriu;
- de la superfície lateral, que és la col·lecció de tots els punts de segments de línia recta (generatricis) que connecten el vèrtex i els punts de la corba guia;
- vèrtex, que és el punt d'intersecció de les generatrius.
Tingueu en compte que el vèrtex no ha de situar-se en el pla de la base, ja que en aquest cas el con degenera en una figura plana.
Si dibuixem un segment perpendicular des de d alt fins a la base, obtindrem l'alçada de la figura. Si l'última base es talla al centre geomètric, llavors és un con recte. Si la perpendicular no coincideix amb el centre geomètric de la base, la figura s'inclinarà.
A la figura es mostren els cons rectes i oblics. Aquí, l'alçada i el radi de la base del con es denoten amb h i r, respectivament. La línia que uneix la part superior de la figura i el centre geomètric de la base és l'eix del con. A la figura es pot veure que per a una figura recta, l'alçada es troba en aquest eix, i per a una figura inclinada, l'alçada forma un angle amb l'eix. L'eix del con s'indica amb la lletra a.
Con recte amb base rodona
Potser, aquest con és el més comú de la classe de figures considerada. Està format per un cercle i un costatsuperfícies. No és difícil obtenir-lo per mètodes geomètrics. Per fer-ho, agafa un triangle rectangle i gira-lo al voltant d'un eix que coincideix amb una de les cames. Òbviament, aquesta cama esdevindrà l'alçada de la figura, i la longitud de la segona cateta del triangle forma el radi de la base del con. El diagrama següent mostra l'esquema descrit per obtenir la xifra de rotació en qüestió.
El triangle representat es pot girar al voltant d'una altra cama, la qual cosa donarà com a resultat un con amb un radi de base més gran i una alçada més baixa que la primera.
Per determinar sense ambigüitats tots els paràmetres d'un con recte rodó, cal conèixer dues de les seves característiques lineals. Entre ells, es distingeix el radi r, l'alçada h o la longitud de la generatriu g. Totes aquestes magnituds són les longituds dels costats del triangle rectangle considerat, per tant, el teorema de Pitàgores és vàlid per a la seva connexió:
g2=r2+ h2.
Superfície
Quan s'estudia la superfície de qualsevol figura tridimensional, és convenient utilitzar el seu desenvolupament en un pla. El con no és una excepció. Per a un con rodó, el desenvolupament es mostra a continuació.
Veiem que el desplegament de la figura consta de dues parts:
- El cercle que forma la base del con.
- El sector del cercle, que és la superfície cònica de la figura.
L'àrea d'un cercle és fàcil de trobar i la fórmula corresponent és coneguda per tots els estudiants. Parlant del sector circular, observem que aixòforma part d'un cercle de radi g (la longitud de la generatriu del con). La longitud de l'arc d'aquest sector és igual a la circumferència de la base. Aquests paràmetres permeten determinar sense ambigüitats la seva àrea. La fórmula corresponent és:
S=pir2+ pirg.
El primer i el segon termes de l'expressió són el con de la base i la superfície lateral de l'àrea, respectivament.
Si es desconeix la longitud del generador g, però es dóna l'alçada h de la figura, aleshores la fórmula es pot reescriure com:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
El volum de la figura
Si agafem una piràmide recta i augmentem el nombre de costats de la seva base a l'infinit, aleshores la forma de la base tendirà a un cercle i la superfície lateral de la piràmide s'aproximarà a la superfície cònica. Aquestes consideracions ens permeten utilitzar la fórmula del volum d'una piràmide quan es calcula un valor similar per a un con. El volum d'un con es pot trobar amb la fórmula:
V=1/3hSo.
Aquesta fórmula sempre és certa, independentment de quina sigui la base del con, amb àrea So. A més, la fórmula també s'aplica al con oblic.
Com que estem estudiant les propietats d'una figura recta de base rodona, podem utilitzar l'expressió següent per determinar el seu volum:
V=1/3hpir2.
La fórmula és òbvia.
El problema de trobar la superfície i el volum
Deixeu un con, el radi del qual és de 10 cm i la longitud de la generatriu és de 20vegeu Necessitat de determinar el volum i la superfície d'aquesta forma.
Per calcular l'àrea S, podeu utilitzar immediatament la fórmula escrita a d alt. Tenim:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
Per determinar el volum, cal conèixer l'alçada h de la figura. Ho calculem utilitzant la relació entre els paràmetres lineals del con. Obtenim:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 cm.
Ara podeu utilitzar la fórmula per a V:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83 cm3.
Tingueu en compte que el volum d'un con rodó és un terç del cilindre en què està inscrit.
