Un objecte geomètric important que s'estudia en un espai pla és una línia recta. A l'espai tridimensional, a més de la recta, també hi ha un pla. Tots dos objectes es defineixen convenientment mitjançant vectors de direcció. Què és, com s'utilitzen aquests vectors per determinar les equacions d'una recta i d'un pla? Aquestes i altres preguntes es tracten a l'article.
Línia directa i com definir-la
Cada alumne té una bona idea de quin objecte geomètric està parlant. Des del punt de vista de les matemàtiques, una recta és un conjunt de punts que, en el cas de la seva connexió arbitrària per parells, condueixen a un conjunt de vectors paral·lels. Aquesta definició de línia s'utilitza per escriure'n una equació tant en dues com en tres dimensions.
Per descriure l'objecte unidimensional considerat, s'utilitzen diferents tipus d'equacions, que s'enumeren a la llista següent:
- vista general;
- paramètric;
- vector;
- canònic o simètric;
- en segments.
Cadauna d'aquestes espècies té uns avantatges sobre les altres. Per exemple, una equació en segments és convenient utilitzar quan s'estudia el comportament d'una recta en relació amb els eixos de coordenades, una equació general és convenient quan es troba una direcció perpendicular a una recta determinada, així com quan es calcula l'angle de la seva intersecció amb l'eix x (per a un cas pla).
Com que el tema d'aquest article està relacionat amb el vector directiu d'una recta, a més a més, considerarem només l'equació on aquest vector és fonamental i està contingut de manera explícita, és a dir, una expressió vectorial.
Especificació d'una línia recta a través d'un vector
Suposem que tenim algun vector v¯ amb coordenades conegudes (a; b; c). Com que hi ha tres coordenades, el vector es dóna a l'espai. Com representar-lo en un sistema de coordenades rectangulars? Això es fa de manera molt senzilla: en cadascun dels tres eixos es dibuixa un segment, la longitud del qual és igual a la coordenada corresponent del vector. El punt d'intersecció de les tres perpendiculars restaurades als plans xy, yz i xz serà el final del vector. El seu començament és el punt (0; 0; 0).
No obstant això, la posició donada del vector no és l'única. De la mateixa manera, es pot dibuixar v¯ posant el seu origen en un punt arbitrari de l'espai. Aquests arguments diuen que és impossible establir una línia específica mitjançant un vector. Defineix una família d'un nombre infinit de rectes paral·leles.
Araarregla algun punt P(x0; y0; z0) de l'espai. I posem la condició: una recta ha de passar per P. En aquest cas, el vector v¯ també ha de contenir aquest punt. L'últim fet significa que es pot definir una única línia utilitzant P i v¯. S'escriurà com la següent equació:
Q=P + λ × v¯
Aquí Q és qualsevol punt pertanyent a la línia. Aquest punt es pot obtenir escollint el paràmetre λ adequat. L'equació escrita s'anomena equació vectorial, i v¯ s'anomena vector de direcció de la recta. En disposar-lo de manera que passi per P i canviant-ne la longitud amb el paràmetre λ, obtenim cada punt de Q com una recta.
En forma de coordenades, l'equació s'escriurà de la següent manera:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
I en forma explícita (paramètrica), podeu escriure:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Si excloem la tercera coordenada de les expressions anteriors, obtenim les equacions vectorials de la recta sobre el pla.
Per a quines tasques és útil conèixer el vector de direcció ?
Per regla general, aquestes són tasques per determinar el paral·lelisme i la perpendicularitat de les rectes. A més, el vector directe que determina la direcció s'utilitza quan es calcula la distància entre rectes i un punt i una recta, per descriure el comportament d'una recta respecte a un pla.
Dosles rectes seran paral·leles si els seus vectors de direcció ho són. En conseqüència, la perpendicularitat de les rectes es demostra utilitzant la perpendicularitat dels seus vectors. En aquest tipus de problemes, n'hi ha prou amb calcular el producte escalar dels vectors considerats per obtenir la resposta.
En el cas de tasques de càlcul de distàncies entre línies i punts, el vector de direcció s'inclou explícitament a la fórmula corresponent. Escrivim-ho:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Aquí P1P2¯ - construït sobre els punts P1 i P 2 segment dirigit. El punt P2 és arbitrari, situat sobre la línia amb el vector v¯, mentre que el punt P1 és aquell al qual hauria de la distància. ser determinat. Pot ser independent o pertànyer a una altra línia o pla.
Tingueu en compte que té sentit calcular la distància entre línies només quan són paral·leles o es creuen. Si es tallen, aleshores d és zero.
La fórmula anterior per a d també és vàlida per calcular la distància entre un pla i una recta paral·lela a aquest, només en aquest cas P1ha de pertànyer al pla.
Resolem diversos problemes per mostrar millor com utilitzar el vector considerat.
Problema d'equació vectorial
Se sap que una línia recta es descriu per l'equació següent:
y=3 × x - 4
Has d'escriure l'expressió adequadaforma vectorial.
Aquesta és una equació típica d'una línia recta, coneguda per tots els escolars, escrita en forma general. Mostrem com es pot reescriure en forma vectorial.
L'expressió es pot representar com:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Es pot veure que si l'obres, obtens la igu altat original. Ara dividim el seu costat dret en dos vectors de manera que només un d'ells contingui x, tenim:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Queda per treure x entre claudàtors, designar-la amb un símbol grec i intercanviar els vectors del costat dret:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Tenim la forma vectorial de l'expressió original. Les coordenades vectorials de direcció de la línia recta són (1; 3).
La tasca de determinar la posició relativa de les línies
Es donen dues línies a l'espai:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Són paral·lels, es creuen o es creuen?
Els vectors diferents de zero (-1; 3; 1) i (1; 2; 0) seran guies per a aquestes línies. Expressem aquestes equacions en forma paramètrica i substituïm les coordenades de la primera per la segona. Obtenim:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Substituïu el paràmetre trobat λ a les dues equacions anteriors, obtenim:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3/2 × λ - 1=5
El paràmetre γ no pot prendre dos valors diferents al mateix temps. Això vol dir que les línies no tenen un únic punt comú, és a dir, que s'intersequen. No són paral·lels, ja que els vectors diferents de zero no són paral·lels entre ells (per al seu paral·lelisme, ha d'haver un nombre que, en multiplicar per un vector, portaria a les coordenades del segon).
Descripció matemàtica de l'avió
Per establir un avió a l'espai, donem una equació general:
A × x + B × y + C × z + D=0
Aquí les majúscules llatines representen nombres específics. Els tres primers defineixen les coordenades del vector normal del pla. Si es denota amb n¯, aleshores:
n¯=(A; B; C)
Aquest vector és perpendicular al pla, per això s'anomena guia. El seu coneixement, així com les coordenades conegudes de qualsevol punt pertanyent al pla, determinen de manera única aquest últim.
Si el punt P(x1; y1; z1) pertany a l'avió, llavors la intercepció D es calcula de la següent manera:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Resolvem un parell de problemes utilitzant l'equació general del pla.
Tasca pertrobar el vector normal del pla
L'avió es defineix de la següent manera:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Com trobar un vector de direcció per a ella?
De la teoria anterior es dedueix que les coordenades del vector normal n¯ són els coeficients davant de les variables. En aquest sentit, per trobar n¯, l'equació s'ha d'escriure en forma general. Tenim:
1/3 × x + 1/2 × y - 1/4 × z - 13/6=0
Llavors el vector normal del pla és:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
El problema d'elaborar l'equació del pla
Les coordenades de tres punts es donen:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Com serà l'equació del pla que conté tots aquests punts.
A través de tres punts que no pertanyen a la mateixa línia, només es pot dibuixar un pla. Per trobar la seva equació, primer calculem el vector de direcció del pla n¯. Per fer-ho, procedim de la següent manera: trobem dos vectors arbitraris pertanyents al pla, i calculem el seu producte vectorial. Donarà un vector que serà perpendicular a aquest pla, és a dir, n¯. Tenim:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Agafa el punt M1 per dibuixarexpressions planes. Obtenim:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Hem obtingut una expressió de tipus general per a un pla a l'espai definint-ne primer un vector de direcció.
La propietat del producte creuat s'ha de recordar quan es resolen problemes amb plans, ja que permet determinar les coordenades d'un vector normal d'una manera senzilla.
